数字期权定价方法 - 通过欧式期权复制估值数字期权

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摘要

数字期权以其二元支付结构为特征，因其 payoff 的不连续性，在定价和风险管理中具有独特挑战。本文探讨了使用欧式香草期权复制数字期权的方法，作为 Black-Scholes (BS) 解析模型的实用替代方案。我们详细阐述了基本原理，推导了价格和关键 Greeks（Delta、Gamma）的计算公式，并讨论了此方法在金融建模和风险管理中的意义。

1. 引言

数字期权（也称二元期权）在到期时若标的资产价格满足特定条件，则支付固定金额。对于现金或无（cash-or-nothing）看涨期权，若$S_T > K$，支付$Q$；否则为零；对于看跌期权，若$S_T < K$，支付$Q$。这种不连续性使得直接定价和对冲变得复杂。虽然 Black-Scholes 模型提供了解析解，但通过欧式看涨期权复制数字期权是一种直观且基于市场的方法。该方法利用流动的香草期权来近似数字期权的特性，提升了灵活性和实际应用价值。

2. 复制原理

复制方法通过在数字期权的行权价$K$附近偏移的欧式看涨期权组合，近似数字期权的 payoff。其核心思想是用陡峭但连续的过渡模拟数字期权的阶跃函数 payoff。

2.1 Payoff 近似

对于 payoff 为$Q \cdot 1_{S_T > K}$的现金或无看涨数字期权：

• 构建组合：买入行权价为$K - h$的看涨期权，卖出行权价为$K + h$的看涨期权。
• 到期 payoff：
  • 若$S_T < K - h$：两期权均无价值，payoff = 0。
  • 若$K - h < S_T < K + h$：低行权价期权支付$S_T - (K - h)$，高行权价期权无价值。
  • 若$S_T > K + h$：payoff 为$(S_T - (K - h)) - (S_T - (K + h)) = 2h$。
• 按$\frac{Q}{2h}$缩放组合：在$[K - h, K + h]$区间内，payoff 近似为$Q$，从 0 过渡到$Q$。

当$h \to 0$时，此组合趋近于数字期权的精确 payoff，类似于 Heaviside 阶跃函数的有限差分近似。

3. 价格计算

在 Black-Scholes 模型的风险中性测度下，欧式看涨期权价格为$C(K) = e^{-rT} [F N(d_1) - K N(d_2)]$，其中$F = S_0 e^{(r - q)T}$，$d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + (r - q + 0.5\sigma^2)T}{\sigma \sqrt{T}}$，$d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}$。

通过复制的数字看涨期权价格为：

$$V = \frac{C(K - h) - C(K + h)}{2h}$$

• 当$h$减小时，此公式趋近于 BS 数字期权价格：$V = e^{-rT} N(d_2)$（假设$Q = 1$）。
• 对于看跌期权：$V = \frac{C(K + h) - C(K - h)}{2h}$，近似为$e^{-rT} N(-d_2)$。

数值稳定性

选择适当的$h$在精度和数值稳定性之间取得平衡。$h$过小会放大舍入误差；过大会扭曲近似。通常，$h = 0.01 S_0$是一个实用的选择。

4. Greeks 计算

Greeks 衡量期权对标的资产参数的敏感性，对对冲至关重要。我们通过复制方法推导 Delta 和 Gamma。

4.1 Delta

Delta ($\Delta = \frac{\partial V}{\partial S_0}$) 表示价格对标的资产价格的变化率。

• 对于看涨期权：$\Delta = \frac{\Delta_C(K - h) - \Delta_C(K + h)}{2h}$，其中$\Delta_C(K) = e^{-qT} N(d_1)$。
• 当$h \to 0$时，趋近于 BS Delta：$\Delta = \frac{e^{-rT} N'(d_2)}{S_0 \sigma \sqrt{T}}$（看涨为正，看跌经符号调整为负）。

4.2 Gamma

Gamma ($\Gamma = \frac{\partial^2 V}{\partial S_0^2}$) 反映凸性。

• 对于看涨期权：$\Gamma = \frac{\Gamma_C(K - h) - \Gamma_C(K + h)}{2h}$，其中$\Gamma_C(K) = \frac{e^{-qT} N'(d_1)}{S_0 \sigma \sqrt{T}}$。
• 校正符号（如前所述）：看涨$\Gamma = \frac{\Gamma_C(K + h) - \Gamma_C(K - h)}{2h}$（负值）；看跌$\Gamma = \frac{\Gamma_C(K - h) - \Gamma_C(K + h)}{2h}$（正值）。
• BS Gamma：看涨$\Gamma = -\frac{e^{-rT} N'(d_2)}{S_0^2 \sigma \sqrt{T}} \left( \frac{d_2}{\sigma \sqrt{T}} + 1 \right)$；看跌为正。

复制 Gamma 在$h$较小时与 BS 一致，但对$h$敏感。

5. 复制方法的意义

复制法使用可交易的欧式期权，便于直接对冲。
对于流动性低的数字期权，复制法利用流动的香草市场，改善价格发现和风险管理。

参考文献

• Black, F., & Scholes, M. (1973). "期权与公司负债的定价。"
• Hull, J. C. (2017). 期权、期货及其他衍生品。