Black-Scholes模型

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Black-Scholes模型最初是为定价欧式股票期权而提出的，但随着金融市场的扩展，它被推广应用于其他资产类别（如外汇、权益指数和商品衍生品）的期权定价。在这些场景下，由于标的资产的特性不同（如是否有分红、持仓成本、外汇利率差异等），Black-Scholes公式需要进行相应的调整。以下将详细解释Black-Scholes模型在外汇期权、权益期权（如股票或指数）以及商品期权中的不同变种和公式调整。

1. Black-Scholes模型公式的基本框架

Black-Scholes模型的核心公式是为欧式看涨和看跌期权定价的闭式解。其基本形式为：

1.1 欧式看涨（Call）期权定价公式

$C = S_0 e^{-qT} N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2)$

1.2 欧式看跌（Put）期权定价公式

$P = K e^{-rT} N(-d_2) - S_0 e^{-qT} N(-d_1)$

1.3 参数定义

• $S_0$：标的资产当前价格；
• $K$：期权执行价格；
• $T$：期权到期时间（以年计）；
• $r$：无风险利率（年化）；
• $q$：标的资产的收益率（如分红收益率或其他持有成本）；
• $\sigma$：标的资产的波动率；
• $N(x)$：标准正态分布的累积分布函数；
• $d_1$ 和 $d_2$ 的定义为：
  $d_1 = \frac{\ln(S_0 / K) + (r - q + \frac{1}{2} \sigma^2) T}{\sigma \sqrt{T}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}.$

核心思想

• $S_0 e^{-qT}$：标的资产的现值，调整了持有成本（如分红或外汇利率差）。
• $K e^{-rT}$：期权行权价格的现值。
• $q$：在不同资产类别中，表示分红收益率（股票）、外汇远期点的贴现率差（外汇）或存储成本（商品）。

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2. 外汇期权的Black-Scholes模型

在外汇市场中，标的资产是一个货币对（如 EUR/USD）。外汇期权的特点是涉及两个利率：国内利率（Domestic Rate，$r_d$）和外币利率（Foreign Rate，$r_f$）。因此，外汇期权的Black-Scholes公式需要进行调整。

2.1 欧式外汇期权公式

• 看涨期权（Call）定价公式：
  $C = S_0 e^{-r_f T} N(d_1) - K e^{-r_d T} N(d_2)$
• 看跌期权（Put）定价公式：
  $P = K e^{-r_d T} N(-d_2) - S_0 e^{-r_f T} N(-d_1)$

2.2 参数定义

• $r_d$：国内货币的无风险利率；
• $r_f$：外币的无风险利率；
• 其他参数（$S_0, K, T, \sigma$）与标准公式相同；
• $d_1$ 和 $d_2$ 的定义为：
  $d_1 = \frac{\ln(S_0 / K) + (r_d - r_f + \frac{1}{2} \sigma^2) T}{\sigma \sqrt{T}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}.$

2.3 调整逻辑

1. 持有收益（$q$）替换为外币利率（$r_f$）：
   • 外汇期权中，持有外币 $S_0$ 会产生外币利率 $r_f$ 的收益（类似于股票分红收益）。
2. 贴现因子：
   • 期权的行权价格 $K$ 使用国内利率 $r_d$ 贴现。

2.4 解释

• 外汇期权价格的本质是一个远期合约上的期权，其价格受到两种无风险利率的影响：
  • $r_f$：持有外币的收益；
  • $r_d$：行权价格的现值折现因子。

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3. 权益期权（带分红股票或指数）的Black-Scholes模型

股票或权益指数可能会产生分红收益，这些分红对期权价格有重要影响。在Black-Scholes公式中，可以通过引入**分红收益率（$q$）**来调整公式。

3.1 欧式权益期权公式

• 看涨期权（Call）定价公式：
  $C = S_0 e^{-qT} N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2)$
• 看跌期权（Put）定价公式：
  $P = K e^{-rT} N(-d_2) - S_0 e^{-qT} N(-d_1)$

3.2 参数定义

• $q$：分红收益率（或指数收益率），表示持有标的资产的收益；
• 其他参数（$S_0, K, T, \sigma, r$）定义与标准公式相同；
• $d_1$ 和 $d_2$ 的定义为：
  $d_1 = \frac{\ln(S_0 / K) + (r - q + \frac{1}{2} \sigma^2) T}{\sigma \sqrt{T}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}.$

3.3 调整逻辑

1. 分红收益率（$q$）：
   • 持有股票或指数的投资者会定期获得分红收益，降低股票的现值，因此在公式中引入折现因子 $e^{-qT}$。
2. 贴现因子：
   • $S_0 e^{-qT}$ 表示标的资产的现值，扣除了未来分红的影响。

3.4 解释

• 分红收益率 $q$ 的引入，使得公式能够适应持有分红资产的期权定价。对于不支付分红的股票或指数，只需将 $q = 0$，公式退化为标准Black-Scholes公式。

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4. 商品期权的Black-Scholes模型

商品期权的定价需要考虑两个因素：存储成本（$c$）和便利收益（$y$）。它们共同影响商品的现货价格和期货价格。

4.1 欧式商品期权公式

• 看涨期权（Call）定价公式：
  $C = S_0 e^{-(q + c - y)T} N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2)$
• 看跌期权（Put）定价公式：
  $P = K e^{-rT} N(-d_2) - S_0 e^{-(q + c - y)T} N(-d_1)$

4.2 参数定义

• $q$：持有收益率（如分红收益率，若无分红则 $q = 0$）；
• $c$：存储成本，表示持有商品的成本（如仓储费）；
• $y$：便利收益，表示持有商品所带来的收益（如保证生产的稳定性）；
• 其他参数（$S_0, K, T, \sigma, r$）定义与标准公式相同；
• $d_1$ 和 $d_2$ 的定义为：
  $d_1 = \frac{\ln(S_0 / K) + (r - q - c + y + \frac{1}{2} \sigma^2) T}{\sigma \sqrt{T}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}.$

4.3 调整逻辑

1. 存储成本（$c$）：
   • 持有商品需要支付存储成本，因此在公式中增加了 $c$，对标的资产现值进行调整。
2. 便利收益（$y$）：
   • 持有商品可能带来便利收益（如保证生产所需原料的稳定供应），其作用类似分红收益，降低了持有成本。
3. 净持有成本：
   • 调整后的持有成本为 $q + c - y$，影响商品的现值。

4.4 解释

• 商品期权价格受净持有成本的显著影响。对于不同的商品（如能源、贵金属、农产品），存储成本和便利收益的大小不同，需要根据具体市场条件校准 $c$ 和 $y$。

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5. 总结：Black-Scholes公式的变种对比

资产类别	持有收益（$q$）	调整因素	公式特性
股票/权益	分红收益率（$q$）	分红收益降低现值：$e^{-qT}$	分红降低了标的资产的现值，影响期权价格。
外汇	外币利率（$r_f$）	两种利率差异：$r_d - r_f$	外币利率作为持有收益，国内利率作为贴现因子。
商品	$q + c - y$（净持有成本）	存储成本（$c$）、便利收益（$y$）	存储成本增加持有成本，便利收益降低持有成本，影响商品现值。

Black-Scholes模型的核心思想保持不变，但通过调整持有收益（如分红收益率、外币利率、净持有成本等）和贴现因子，能够适应外汇、权益和商品等不同资产类别的定价需求。这些调整使得Black-Scholes公式更具通用性，广泛应用于金融市场的各个领域。

下面是python实现的简单货币欧式期权的示例：

import math

def bs_call(s, x, t, rd, rf, sigma):
    """
    计算欧洲货币期权的call价格。

    Args:
        s: 现货价格
        x: 行权价
        t: 到期时间
        rd: 国内无风险利率
        rf: 外币无风险利率
        sigma: 波动率

    Returns:
        期权价格
    """

    d1 = (math.log(s / x) + (rd - rf + sigma ** 2 / 2) * t) / (sigma * math.sqrt(t))
    d2 = d1 - sigma * math.sqrt(t)
    return s * math.exp(-rf * t) * math.norm(d1) - x * math.exp(-rd * t) * math.norm(d2)


def bs_put(s, x, t, rd, rf, sigma):
    """
    计算欧洲货币期权的put价格。

    Args:
        s: 现货价格
        x: 行权价
        t: 到期时间
        rd: 国内无风险利率
        rf: 外币无风险利率
        sigma: 波动率

    Returns:
        期权价格
    """

    return bs_call(s, x, t, rd, rf, sigma) - s + x

示例：考虑到期六个月的欧洲美元看涨/欧元看跌期权。美元/欧元的汇率为1.56，行权价为1.6，欧洲的无风险利率为8%每年，美国的外币无风险利率为6%每年，波动率为12%每年。 $S=1.56,X=1.6,T=0.5,r=0.06,r_f=0.08,\sigma=0.12.$

$$d_{1}=\frac{\ln(1.56/1.6)+(0.06-0.08+0.12^{2}/2)0.5}{0.12\sqrt{0.5}}=-0.3738$$

$$d_{2}=d_{1}-0.12\sqrt{0.5}=-0.4587$$

$$N(d_{1})=N(-0.3738)=0.3543$$

$$N(d_{2})=N(-0.4587)=0.3232$$

$$c=1.56e^{-0.08\times0.5}N(d_1)-1.6e^{-0.06\times0.5}N(d_2)=0.0291$$

因此，期权费用为每欧元0.0291美元。或者，费用可以以每美元1.56^2=0.0120欧元的比率进行报价，或者以现货价格的0.0291/1.56=0.0186538，即1.8654%的欧元进行报价。因此，如果期权的名义金额为1亿欧元，则总期权费用为1,865,384.62欧元，或者1,865,384.62×1.56=2,910,000,000美元。

s = 1.56
x = 1.6
t = 0.5
rd = 0.06
rf = 0.08
sigma = 0.12

c = bs_call(s, x, t, rd, rf, sigma)
print(c)

欧式期权的认购-认沽平价关系

Higgins（1902）和Nelson（1904）详细描述了认沽-认购平价关系，该关系给出了具有相同行权价的认沽期权和认购期权的价值。如果平价关系不成立，则存在套利机会。该关系基于几个假设，例如我们可以轻易地做空标的资产，没有买卖价差和交易成本等。然而，该关系并不依赖于对标的证券价格分布的任何假设。

外汇期权

$$c=p+Se^{-r_{f}}T-Xe^{-rT}\quad p=c-Se^{-r_{f}}T+Xe^{-rT}$$

远期价格

外汇远期和即期交易是外汇市场中常见的两种交易方式。远期交易是指按照事先约定的价格和日期进行外汇交割的交易$\iota$ 而即期交易是指按照即时市场价格进行即时交割的交易。

对于远期交易，有两种常见的利率计算方式： 年利率方式和连续复利方
式。以下是它们的公式：

1. 年利率方式：

在年利率方式下，远期汇率可以通过即期汇率、国内利率 $(r_d)$ 和外国利
率 ($r_f)$ 来计算。假设远期汇率为$F$,即期汇率为$S$,国内利率为$r_d$,外国利率为$r_f$,远期交割时间为$T$年，则远期汇率的计算公式如下：

$$F=S\times(1+r_d)^T\:/\:(1+r_f)^T$$

其中，$^{\wedge}$表示乘方运算。

2. 连续复利方式：

在连续复利方式下，远期汇率的计算公式稍有不同。假设远期汇率为$F_{\prime}$
即期汇率为$S$,国内利率为$r_d$,外国利率为$r_f$,远期交割时间为$T$年，则远期汇率的计算公式如下：

$$F=S\times e^{(r_d-r_f)\times T}$$

其中，$e$表示自然对数的底数。