外汇期权波动率曲面构造

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引言

在外汇期权市场中，隐含波动率是定价和风险管理的关键参数。由于期权的隐含波动率通常随行权价和到期时间变化而呈现非平坦的曲线，交易员和风险管理者需要构造一张“波动率曲面”（Volatility Surface），以便更直观地呈现隐含波动率的分布，从而支持期权定价、对冲和风险管理。

波动率曲面的构造依赖多个核心概念，其中 Delta 和 平值类型（ATM Types） 是基础指标，分别用于衡量期权对标的价格变化的敏感性和确定波动率曲面的中心点。本篇文章将详细介绍这些核心概念，并说明它们在波动率曲面构造中的作用。

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1. 外汇波动率的来源

1.1 市场波动率的报价格式

在外汇期权市场中，波动率通常以 Delta/Vol 而非 Strike/Vol 的形式进行报价。这是因为外汇市场更关注 Delta（衡量期权价格对标的资产价格变化的敏感性），而非行权价（Strike）。这种报价方式能够更直观地反映市场对不同风险敞口的波动率需求。

市场波动率的报价格式通常为 Tenor/DeltaString/Vol，具体包括以下几个要素：

1. Tenor（期限）：
   表示期权的到期时间，例如 1 周（1W）、1 个月（1M）、1 年（1Y）等。

2. DeltaString（Delta 类型）：
   不同 Delta 类型的波动率报价，例如 10RR（10 Delta 的 Risk Reversal）、25RR（25 Delta 的 Risk Reversal）、ATM（At-The-Money）等。

3. Vol（波动率）：
   对应 Delta 类型的隐含波动率数据。

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1.2 波动率报价的主要参数

市场波动率报价通常包括以下几类参数：

• ATM（At-The-Money）：
  平值期权的隐含波动率，是波动率曲面的基准。
  ATM 波动率是构造波动率曲面的基准值，表示市场认为平值期权的隐含波动率。根据市场惯例，ATM 波动率的定义可以是 ATM-Spot、ATM-Forward、ATM-Delta-Neutral 。

• RR（Risk Reversal）：
  等 Delta 下看涨期权和看跌期权隐含波动率的差值，用于衡量市场对偏向性风险的需求。常见的 RR 包括 10RR 和 25RR。
  Risk Reversal 是市场对看涨期权和看跌期权相对需求的衡量指标，定义为等 Delta 下看涨期权隐含波动率与看跌期权隐含波动率的差值：

$$RR = \sigma_{call} - \sigma_{put}$$

市场上常见的 RR 报价有：

• 25RR：25 Delta 的看涨和看跌期权波动率差。
• 10RR：10 Delta 的看涨和看跌期权波动率差。

RR 的正负值反映了市场的偏好：

• 正值：市场倾向于对冲标的资产升值的风险（看涨期权需求更高）。

• 负值：市场倾向于对冲标的资产贬值的风险（看跌期权需求更高）。

• BF（Butterfly）：
  偏离 Delta 的期权隐含波动率与 ATM 波动率的加权差值，用于衡量波动率微笑的陡峭程度。常见的 BF 包括 10BF 和 25BF。
  Butterfly 是衡量市场对波动率微笑形状的需求程度，定义为偏离 Delta 的期权隐含波动率与 ATM 波动率的加权差值：

$$BF = \frac{\sigma_{call} + \sigma_{put}}{2} - \sigma_{ATM}$$

市场上常见的 BF 报价有：

• 25BF：25 Delta 的波动率微笑形状。
• 10BF：10 Delta 的波动率微笑形状。

BF 值的大小反映了波动率曲面的陡峭程度：

• 正值：波动率微笑较陡峭，价外期权波动率更高。
• 负值：波动率微笑较平坦。

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1.3 实际波动率报价格式

综上，外汇期权市场的波动率通常以以下格式报价：

• ATM 波动率
• 25RR、10RR
• 25BF、10BF

这种格式为波动率曲面的构造提供了核心参数，RR 和 BF 描述了波动率微笑（Volatility Smile）的非对称性和陡峭程度，而 ATM 波动率则提供了曲面的基准点。

以下是一组实际波动率报价的示例，其中展示了不同期限（Tenor）和 Delta 字符串（DeltaString）下的波动率数据：

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1.4 波动率报价的意义

上述波动率报价表格具有以下意义：

• ATM 波动率：
  提供波动率曲面构造的基准点，反映市场对中性风险的预期。

• RR 和 BF：
  描述波动率微笑的非对称性和陡峭程度，体现市场对标的资产价格上行或下行风险的不同偏好。

• 期限结构：
  不同期限的波动率数据反映了市场对短期和长期波动率的预期差异。短期波动率通常受事件驱动影响较大，而长期波动率更多反映市场的长期波动预期。

通过这些报价，交易员可以构造一张完整的波动率曲面，进而支持期权定价和风险管理。

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2. Premium类型（Premium Adjusted）

一般情况下，premium是term currency，对于报价为base currency的情况，delta和strike转化时，需要做特别调整。
下面讲述Delta、strike、vol转换时，需要考虑到premium adjusted与否。

3. Delta 的类型（Delta Types）

3.1 Delta 的重要性

Delta 是衡量期权价格对标的资产价格变化敏感性的重要指标。它不仅是期权定价中的核心参数，还被用于对冲和风险管理。在外汇期权市场中，Delta 的定义与股票市场有所不同，主要区别在于外汇期权的价值可以以两种货币计价（本币和外币）。以下是外汇市场中常见的三种 Delta 类型。

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3.2 即期 Delta（Spot Delta, $\Delta_S$）

即期 Delta 是期权价格对即期价格 $S_t$ 的一阶导数，表示对冲期权头寸在即期市场中需要持有的标的资产数量。

公式：

$$Delta_S = \phi e^{-r_f \cdot \tau} N(\phi d_+)$$

其中：

• $\phi = +1$ 表示看涨期权，$\phi = -1$ 表示看跌期权。
• $r_f$：外币无风险利率。
• $\tau$：到期时间。
• $d_+ = \frac{\ln\left(\frac{f(t, T)}{K}\right) + \frac{1}{2} \sigma^2 \tau}{\sigma \sqrt{\tau}}$

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3.3 远期 Delta（Forward Delta, $\Delta_f$）

远期 Delta 是期权价格对远期价格 $f(t, T)$ 的一阶导数，表示对冲期权头寸在远期市场中需要持有的远期合约数量。

公式：

$$Delta_f = \phi N(\phi d_+)$$

与即期 Delta 的区别在于，远期 Delta 没有折现因子 $e^{-r_f \cdot \tau}$。

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3.4 期权费调整 Delta（Premium-Adjusted Delta, $\Delta_{pa}$）

期权费调整 Delta 在计算 Delta 时考虑了期权价格对对冲头寸的影响，用于修正即期 Delta 或远期 Delta。

公式：

• 即期期权费调整 Delta：

  $$Delta_{S, pa} = \Delta_S - \frac{v}{S_t}$$

  其中 $v$ 是期权价格（以本币计价）。

• 远期期权费调整 Delta：

  $$Delta_{f, pa} = \phi \frac{K}{f} N(\phi d_-)$$

  其中：

  $$d_- = \frac{\ln\left(\frac{f}{K}\right) - \frac{1}{2} \sigma^2 \tau}{\sigma \sqrt{\tau}}$$

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4. 平值类型（ATM Types）

平值（At-The-Money, ATM）定义了隐含波动率曲面的中心点，是波动率曲面构造的重要基准。外汇市场中有多种 ATM 定义，适用于不同的交易需求和市场环境。

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4.1 ATM-Spot

定义：

行权价等于即期价格：

$$K_{ATM} = S_t$$

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4.2 ATM-Forward

定义：

行权价等于远期价格：

$$K_{ATM} = f(t, T)$$

其中：

$$f(t, T) = S_t \cdot e^{(r_d - r_f) \cdot \tau}$$

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4.3 ATM-Value-Neutral

定义：

确保看涨期权和看跌期权的价格相等：

$$v(S_t, K_{ATM}, \sigma, +1) = v(S_t, K_{ATM}, \sigma, -1)$$

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4.4 ATM-Delta-Neutral

定义：

使得看涨期权和看跌期权 Delta 的绝对值相等：

$$Delta_{call} + \Delta_{put} = 0$$

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4.5 ATM 类型的详细公式表

以下表格展示了不同 ATM 类型下，即期 Delta、远期 Delta、即期期权费调整 Delta 和远期期权费调整 Delta 的公式：

Delta 类型	ATM Δ-Neutral Strike	ATM Fwd Strike	ATM Δ-Neutral Delta	ATM Fwd Delta
Spot Delta	$f \cdot e^{\frac{1}{2}\sigma^2 \tau}$	$f$	$\frac{1}{2} \phi e^{-r_f \tau}$	$\phi e^{-r_f \tau} N(\phi \frac{1}{2} \sigma \sqrt{\tau})$
Forward Delta	$f \cdot e^{\frac{1}{2}\sigma^2 \tau}$	$f$	$\frac{1}{2} \phi$	$\phi N(\phi \frac{1}{2} \sigma \sqrt{\tau})$
Spot Delta p.a.	$f \cdot e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 \tau}$	$f$	$\frac{1}{2} \phi e^{-r_f \tau} e^{-\frac{1}{2} \sigma^2 \tau}$	$\phi e^{-r_f \tau} N(-\phi \frac{1}{2} \sigma \sqrt{\tau})$
Forward Delta p.a.	$f \cdot e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 \tau}$	$f$	$\frac{1}{2} \phi e^{-\frac{1}{2} \sigma^2 \tau}$	$\phi N(-\phi \frac{1}{2} \sigma \sqrt{\tau})$

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5. 波动率曲面的构造

5.1 基于 Delta 的波动率曲面

在外汇期权市场中，隐含波动率通常基于 Delta 而非行权价进行报价。波动率曲面以 Delta 为横轴，以到期时间为纵轴，构造出三维的波动率分布。通过使用本文中的 Delta 类型和 ATM 定义，可以确保波动率曲面与市场实际情况相符。

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5.2 关键步骤

1. 选择 Delta 类型：
   根据交易需求选择即期 Delta、远期 Delta或期权费是否调整 Delta。一般情况下，远期 Delta 是最常用的类型。

2. 选择 ATM 定义：
   确定波动率曲面的中心点，例如使用 ATM-Forward 或 ATM-Delta-Neutral。

3. 转换 Delta 为行权价：
   对于给定的 Delta 和隐含波动率，使用公式计算对应的行权价。

   • 非期权费调整（premium adjusted = false）的远期 Delta：
     $K = f \cdot \exp\left(-\phi \cdot \sigma \cdot \sqrt{\tau} \cdot N^{-1}(\phi \Delta_f) + \frac{1}{2} \sigma^2 \tau \right)$
   • 即期 Delta 的转换：
     $K = f \cdot \exp\left(-\phi \cdot \sigma \cdot \sqrt{\tau} \cdot N^{-1}\left(\frac{\phi \Delta_S}{e^{-r_f \cdot \tau}}\right) + \frac{1}{2} \sigma^2 \tau \right)$

4. 插值与平滑：
   使用插值方法对波动率曲面进行平滑，确保其在三维空间中连续且光滑。

   参考：外汇波动率曲面插值方法

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6. 期限（Term）方向 - “对方差（或方差×期限）做线性插值(Linear Variance Interpolation)”

1. 方差随时间线性累积
   金融理论中常用的假设是方差（Variance）随时间成线性累积，即如果我们令 $\sigma$表示年化波动率，$T$表示年化期限，那么期权定价所用的方差通常可写成 $\sigma^2 \times T$。

   • 因此，若仅对波动率本身做线性插值，随着期限延伸可能会失真；
   • 更合理的做法是在期限轴上对 $\sigma^2 \times T$进行线性插值，保证期限越长，方差增幅的累积过程更贴近理论假设。

2. 操作流程

   • 首先对每个关键期限（Term Point）计算出对应的年化波动率 $\sigma$；
   • 再将其转化成方差（$\sigma^2 \times T$）；
   • 在期限跨度上对这些方差点做线性插值，对于任意给定期限 $T^*$，可以插值得到方差 $\sigma^2_{\text{interp}} \times T^*$；
   • 最后，把插值后的方差再换算回年化波动率 $\sigma_{\text{interp}} = \sqrt{\frac{\sigma_{\text{interp}}^2 \times T^*}{T^*}}$。

“对方差（或 $\sigma^2 \times T$）做线性插值”是构造外汇波动率曲面时在期限方向最典型、最常用的插值方式。