债券期权（Option on Bonds）定价原理

1. 债券期权概述

债券期权是指在特定日期以特定价格买入或卖出特定债券的权利。除了在场外市场交易外，债券期权也经常在债券发行时嵌入其中，以增加其对发行人或潜在购买者的吸引力。
债券期权包含了嵌入式债券期权、和欧式债券期权。

1.1 嵌入式债券期权

可赎回债券（Callable Bond） 是嵌入债券期权的一个例子。这种债券允许发行公司在未来特定时间以预定价格回购债券。持有此类债券的投资者相当于向发行人出售了一个看涨期权。

• 行权价（Call Price） 是发行人必须支付给持有者的预定价格。
• 锁定期（Lock-out Period）：可赎回债券通常在发行后的最初几年内不可赎回。
• 赎回价格随时间递减：例如，一只10年期可赎回债券，前2年不可赎回，第3-4年的赎回价为110，第5-6年为107.5，第7-8年为106，第9-10年为103。

可赎回债券的期权价值会反映在其报价收益率中。通常，含赎回条款的债券比不含赎回条款的债券提供更高的收益率。

可回售债券（Puttable Bond） 是另一种嵌入式期权债券，它允许持有者在未来特定时间以预定价格要求提前赎回。持有此类债券的投资者相当于购买了一个看跌期权。由于看跌期权增加了债券对持有者的价值，含回售条款的债券通常提供较低的收益率。

贷款和存款工具 也常包含嵌入式债券期权。例如：

• 允许随时无罚金赎回的5年期固定利率存款，包含一个美式看跌期权。
• 贷款和抵押贷款的提前还款权，相当于债券的看涨期权。
• 银行提供的贷款承诺，相当于债券的看跌期权。

1.2 欧式债券期权

欧式债券期权是一种金融衍生工具，它赋予持有者在特定日期或之前以约定价格买入（看涨期权）或卖出（看跌期权）标的债券的权利而非义务。与股票期权不同，债券期权的定价需要考虑利率期限结构、债券的票息支付以及信用风险等特殊因素。

本文重点介绍欧式债券期权 的定价逻辑

2. 欧式债券期权定价方法

2.1 Black-76模型

Black-76模型是Black-Scholes模型的变体，专门用于定价基于远期价格的期权，是债券期权定价中最常用的模型之一。

2.1.1 模型公式

对于欧式债券看涨期权：

$$C = e^{-rT}[FN(d_1) - KN(d_2)]$$

对于欧式债券看跌期权：

$$P = e^{-rT}[KN(-d_2) - FN(-d_1)]$$

其中：

$$d_1 = \frac{\ln(F/K) + (\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}$$

$$d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$$

变量说明：

• F：债券的远期价格
• K：期权执行价格
• r：无风险利率
• T：期权到期时间
• σ：债券价格波动率
• N(·)：标准正态分布累积函数

2.1.2 实施步骤

1. 确定远期价格($F_B$)：

$$F_B = \frac{B_0 - I}{P(0, T)}$$

• $B_0$：债券在时间0的价格
• $I$：期权存续期内支付的票息的现值
• $P(0, T)$：到期日 $T$ 的（无风险）折现因子

2. 选择适当波动率：

   • 历史波动率：基于债券价格历史数据
   • 隐含波动率：从市场期权价格反推

3. 确定无风险利率：
   通常使用同期限国债收益率或SHIBOR利率

4. 计算期权价格

2.1.3 示例

考虑一只10个月期欧式看涨期权，标的为一只面值1000美元的9.75年期债券（期权到期时，债券剩余期限为8年11个月）。已知：

• 当前现金债券价格：960美元
• 行权价：1000美元
• 10个月无风险利率：10%（年化）
• 远期债券价格波动率：9%（年化）
• 债券票息：10%（每半年支付50美元，3个月和9个月后各支付一次）

计算步骤：

1. 票息现值：

   $$50e^{-0.25 \times 0.09} + 50e^{-0.75 \times 0.095} = 95.45 \text{美元}$$

2. 远期债券价格：

   $$F_B = (960 - 95.45)e^{0.1 \times 0.8333} = 939.68 \text{美元}$$

3. 期权价格：
   • 若行权价为现金价格（1000美元），期权价格为9.49美元。
   • 若行权价为报价（需加上应计利息1008.33美元），期权价格为7.97美元。

2.1.4 适用场景

Black-76模型特别适用于：

• 欧式债券期权
• 流动性较好的债券
• 短期期权定价
• 场外市场报价

2.2 单因子利率模型

单因子利率模型将整个利率期限结构的变动归结为一个随机因素的驱动，常用的包括Vasicek模型、CIR模型和Hull-White模型等。

2.2.1 Vasicek模型

短期利率动态：

$$dr_t = a(b - r_t)dt + σdW_t$$

债券期权定价公式：

$$C = LP(0,s)N(h) - KP(0,T)N(h-σ_P)$$

$$h = \frac{1}{σ_P}\ln\frac{LP(0,s)}{P(0,T)K} + \frac{σ_P}{2}$$

$$σ_P = \frac{σ}{a}[1-e^{-a(s-T)}]\sqrt{\frac{1-e^{-2aT}}{2a}}$$

2.2.2 Hull-White模型

扩展Vasicek模型，允许时间依赖参数：

$$dr_t = [θ(t) - a r_t]dt + σdW_t$$

2.2.3 附息债券期权定价

通过"分解法"将附息债券期权定价转化为零息债券期权组合：

1. 计算临界利率r*，使得附息债券价格等于执行价格
2. 将附息债券分解为零息债券组合
3. 计算每个零息债券期权的价格（执行价为r*对应的价格）
4. 加总得到附息债券期权价格

2.2.4 实施难点

1. 参数校准复杂（均值回归速度a，波动率σ等）
2. 需要完整的利率期限结构模型
3. 计算量较大

2.3 关键参数选择

2.3.1 远期价格确定

债券远期价格应考虑：

• 现货价格（使用全价而非净价）
• 持有成本（回购融资成本）
• 票息收入
• 应计利息

精确公式：

$$F_B = \frac{B_0 - I}{P(0, T)}$$

2.3.2 利率选择

1. 无风险利率：

   • 同期限国债收益率
   • SHIBOR/SHIBOR3M
   • 互换利率

2. 折现利率：

   • 应与期权期限匹配
   • 考虑风险中性测度

2.3.3 波动率选择

1. 历史波动率：

   • 基于债券价格历史数据
   • 通常取1年期滚动波动率

2. 隐含波动率：

   • 从市场期权价格反推
   • 需要流动性较好的期权市场

3. 模型波动率：

   • 单因子模型中的σ_P
   • 需要参数校准

2.4 模型比较与选择

比较维度	Black-76模型	单因子利率模型
复杂度	低	高
数据需求	少（只需F, σ, r）	多（需校准模型参数）
计算效率	高	低
精确度	短期期权较好	长期期权更准确
适用产品	欧式期权	美式/复杂期权
市场实践	场外市场常用	学术研究/复杂衍生品
参数稳定性	波动率需频繁更新	模型参数相对稳定

选择建议：

1. 对于普通欧式债券期权，优先使用Black-76模型
2. 对于含权债券或复杂期权，考虑单因子/多因子模型
3. 在中国市场，Black-76更实用（数据可得性高）
4. 对美式期权，需使用二叉树或蒙特卡洛模拟

3. 其他考虑因素

3.1 信用风险调整

对于非国债债券（如信用债），需在定价中考虑信用风险：

• 使用信用利差调整贴现率
• 考虑违约概率（使用CDS利差）
• 调整波动率（信用债波动通常高于国债）

3.2 流动性影响

中国债券期权市场流动性不足的影响：

• 买卖价差大，需增加流动性溢价
• 历史数据有限，波动率估计困难
• 可能需要参考相似债券的数据

3.3 税收考虑

不同债券的税务处理差异：

• 国债利息免税
• 政策性金融债（如国开债）利息应税
• 需在定价中考虑税后收益

4. 猛犸系统中的定价方法

债券期权定价是一个复杂的过程，需要根据具体产品特征和市场环境选择合适的定价方法。在中国市场环境下，我们目前的使用方法：

1. 使用Black-76模型进行欧式债券期权定价，因其简单实用
2. 关键参数选择：
   • 使用中债全价作为标的价格
   • 同期限国债收益率作为无风险利率
   • 历史波动率结合隐含波动率（如有）
3. 信用债期权需增加信用利差调整
4. 长期限或复杂期权考虑单因子利率模型
5. 持续验证模型输出与市场报价的一致性