基于三叉树模型的区间累计期权定价理论

访问猛犸期权定价系统，支持外汇期权和结构化产品定价估值！

摘要

区间累计期权（Range Accrual Option）是一种强路径依赖型衍生品，其最终收益取决于标的资产价格在预设观察期内处于特定区间的天数。本文旨在阐述如何利用三叉树这一数值方法，通过风险中性定价理论，为此类产品进行定价。我们将从产品 payoff 的形式化定义出发，详细推导三叉树的构建过程，并重点描述包含状态变量（累计计息天数）的向后迭代定价算法。

一、产品结构与数学模型

1.1 收益函数（Payoff）

设产品存续期为 $[0, T]$，在此区间上设有 $M$ 个离散的观察日 $\{t_1, t_2, ..., t_M\}$。定义一条资产价格路径 $S(t)$。

在每一个观察日 $t_m$，定义一个指示函数：

$$\mathbb{I}_m(S(t_m)) = \begin{cases} 1 & \text{if } L \leq S(t_m) \leq H \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

其中 $L$ 和 $H$ 分别为区间的下界和上界。

该产品的到期收益 $V_T$ 为票面价值 $N$ 加上累计利息：

$$V_T = N \cdot \left( 1 + R \cdot \frac{A}{M} \right)$$

其中 $R$ 为年化票息率，$A = \sum_{m=1}^{M} \mathbb{I}_m(S(t_m))$ 是有效计息天数。

在风险中性测度 $\mathbb{Q}$ 下，该产品在 $t=0$ 时的公平价值 $V_0$ 为其期望收益的贴现值：

$$V_0 = e^{-rT} \cdot \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} \left[ V_T \right] = e^{-rT} N \cdot \left( 1 + \frac{R}{M} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} \left[ \sum_{m=1}^{M} \mathbb{I}_m(S(t_m)) \right] \right)$$

1.2 定价的挑战
期望值 $\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[A]$ 的计算是核心难点。由于指示函数 $\mathbb{I}_m$ 依赖于整个路径 $S(t)$，此问题没有一般的解析解。三叉树方法通过离散化资产价格过程和时间，并计算所有可能路径上的期望值来逼近该解。

二、三叉树构建

2.1 过程离散化
假设标的资产价格 $S$ 遵循风险中性下的几何布朗运动：

$$dS = (r - q) S dt + \sigma S dW^{\mathbb{Q}}$$

其中 $r$ 为无风险利率，$q$ 为连续股息率，$\sigma$ 为波动率。

将时间区间 $[0, T]$ 划分为 $N$ 个等长的小区间，$\Delta t = T/N$。构建一个三叉树，使得每个节点在时间 $t_i = i \Delta t$ 上对应一个资产价格 $S_{i,j}$。其中 $i$ 为时间步数 $(i = 0, 1, ..., N)$，$j$ 为价格水平索引。

2.2 价格运动与概率
从节点 $(i, j)$ 出发，价格在下一时间步有三种运动可能：

1. 上涨 (Up): $S_{i+1, k+1} = S_{i,j} \cdot u$
2. 持平 (Middle): $S_{i+1, k} = S_{i,j} \cdot m$ （通常设 $m=1$）
3. 下跌 (Down): $S_{i+1, k-1} = S_{i,j} \cdot d$

参数 $u, m, d$ 及对应的风险中性概率 $p_u, p_m, p_d$ 需匹配风险中性过程的前两阶矩（期望和方差）。

一个常见的设定是：

$$u = e^{\lambda \sigma \sqrt{\Delta t}}, \quad d = e^{-\lambda \sigma \sqrt{\Delta t}} = \frac{1}{u}, \quad m=1$$

其中 $\lambda$ 是一个尺度参数，通常设为 $\sqrt{3}$ 以优化收敛速度。

概率由以下方程组解得：

$$\begin{aligned} &p_u + p_m + p_d = 1 \\ &p_u (u - 1) + p_m (m - 1) + p_d (d - 1) = (r - q) \Delta t \\ &p_u (u - 1)^2 + p_m (m - 1)^2 + p_d (d - 1)^2 = \sigma^2 \Delta t + [(r - q) \Delta t]^2 \end{aligned}$$

三、定价算法：向后迭代

定价的关键在于处理路径依赖性。我们在每个树节点 $(i, j)$ 上引入一个状态变量 $a$，它代表从开始到时间 $t_i$ 为止，价格路径上有效计息的天数。因此，每个节点的价值是一个函数： $V_{i,j}(a)$。

3.1 初始化（到期日 $i = N$）
在到期日，所有路径的累计天数 $a$ 已知。对于每一个节点 $(N, j)$ 和每一个可能的状态 $a$，其价值为确定的 payoff：

$$V_{N, j}(a) = N \cdot \left( 1 + R \cdot \frac{a}{M} \right)$$

3.2 向后迭代（对于 $i = N-1, N-2, ..., 0$）
对于每个时间步 $i$，每个价格节点 $j$，以及每个状态 $a$：

1. 计算当前节点资产价格： $S_{i,j} = S_0 \cdot u^{j}$ (需根据树的几何结构调整索引)。

2. 判断当前步是否计息：检查时间 $t_i$ 是否属于预设的观察日 $\{t_1, t_2, ..., t_M\}$。

   • 如果是观察日，则计算指示函数值 $\mathbb{I}_{i,j}$：

     $$\mathbb{I}_{i,j} = \begin{cases} 1 & \text{if } L \leq S_{i,j} \leq H \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

     当前步对累计天数的贡献即为 $\mathbb{I}_{i,j}$。新的状态变量为 $a_{\text{new}} = a + \mathbb{I}_{i,j}$。

   • 如果不是观察日，则累计天数不变，$a_{\text{new}} = a$。

3. 计算延续价值：当前节点的价值是其后续三个节点价值的风险中性期望贴现值。后续节点的状态变量为 $a_{\text{new}}$。

   $$V_{i,j}(a)$$

   其中 $j_u$, $j_m$, $j_d$ 分别对应从节点 $(i,j)$ 经过 up, middle, down 运动后所到达的节点索引。

3.3 根节点价值
在树的根节点 $(0, 0)$，初始累计天数 $a=0$。因此，该产品的理论价格为：

$$V_0 = V_{0,0}(0)$$

四、数值实施考量

1. 状态变量的离散化：状态变量 $a$（累计天数）本质上是离散的，其取值范围为 $0$ 到 $M$（总观察天数）。这大大简化了问题，因为 $a$ 只有 $M+1$ 种可能，避免了“维度灾难”。在每个节点 $(i,j)$，我们只需要存储 $M+1$ 个值 $V_{i,j}(a)$ for $a=0,1,...,M$。

2. 计算复杂度：该算法的复杂度为 $O(N \times J \times M)$，其中 $N$ 是时间步数，$J$ 是价格节点数（约 $2N+1$），$M$ 是观察天数。虽然比普通期权定价复杂，但远优于蒙特卡洛模拟（若要达到相同精度，后者需要大量路径）。

3. 树与观察日的对齐：为了精确计算，应确保每一个预设的观察日 $t_m$ 都恰好对应树的一个时间节点 $t_i$。这通常意味着时间步数 $N$ 需要大于或等于观察天数 $M$，且 $\Delta t$ 应设置为 $T/N$。