美式期权

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对于美式认购期权和认沽期权我们采用了二次近似的方法。

Barone-Adesi和Whaley的二次近似方法

现在我们讨论一种对美式期权价格进行近似的方法，该方法由Barone-Adesi和Whaley（1987年）提出（BAW）。这里假设商品具有连续支付。该近似方法的起点是（Black-Scholes）随机微分方程，适用于任何具有价格的衍生品的价值。

$$\frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}V_{\mathcal S}S+bSV_{\mathcal S}-rV+V_{t}=0$$

在这里，$V$是决定条件性权益价格的（未知）公式。对于欧式期权，$V$的值有一个已知解，即调整后的Black-Scholes公式。对于可能提前行权的美式期权，目前没有已知的解析解。

为了进行近似计算，BAW将美式期权价格分解为欧式期权价格和提前行权溢价。

$$C(S,T)=c(S,T)+\varepsilon_{C}(S,T)$$

在这里，$^{\varepsilon C}$表示提前行权溢价。BAW使用的关键是，$^{\varepsilon C}$也必须满足相同的偏微分方程。为了得到近似解，BAW将方程（12.1）转化为一个忽略了涉及$\varepsilon$的项，并得到了一个标准的线性齐次二阶方程，该方程有一个已知的解。

近似解的函数形式如下所示：

where

$$\left.C(S,T)=\left\{\begin{array}{ll}c(S,T)+A_{2}\left(\frac{S}{S^{*}}\right)^{q_{2}}&\mathrm{if}\quad S<S^{*}\\S-X&\mathrm{if}\quad S\geq S^{+}\end{array}\right.\right.$$

$$q_{2}=\frac{1}{2}\left(-(N-1)+\sqrt{\left(N-1\right)^{2}+\frac{4M}{K}}\right)$$

$$\Lambda_{2}=\frac{S^{+}}{q_{2}}\left(1-e^{(b-r)(T-t)}N\left(d_{1}(S^{+})\right)\right)$$

$$M=\frac{2r}{\sigma^{2}},\:N=\frac{2b}{\sigma^{2}},\:K(T)=1-e^{-r(T-t)}$$

$$S^{*}-X=c\left(S^{*},T\right)+\frac{S^{*}}{q_{2}}\left(1-e^{(b-r)(T-t)}N\left(d_{1}(S^{*})\right)\right)$$

公式12.1：Barone Adesi Whaley对美式认购期权价值的函数形式

其中，$S^{+}$满足以下方程：

在实施这个公式时，唯一的问题是找到临界值$^{S^*}$。这是一个经典问题，即找到方程的根。

$$g(S^{*})=S^{*}-X-c(S^{*})-\frac{S^{*}}{q_{2}}\left(1-e^{(b-r)(T-t)}N\left(d_{1}(S^{*})\right)\right)=0$$

这可以使用牛顿法来求解。我们首先找到一个初始的“种子”值$^{S_0}$。下一个估计值$^{S_i}$通过以下方式得到：

$$S_{i+1}=S_{i}-\frac{g()}{g^{\prime}}$$

在每一步中，我们需要计算$^{g()}$及其导数$^{g^{\prime}()}$。

$$g(S)=S-X-c(S)-\frac1{q_2}\mathcal{S}\left(1-e^{(b-r)(T-t)}N(d_1)\right)$$

$$g'\:(S)=(1-\frac{1}{q_2})\left(1-e^{(b-r)(T-t)}N(d_1)\right)+\frac{1}{q_2}(e^{(b-r)(T-t)}n(d_1))\frac{1}{\sigma\sqrt{T-t}}$$

其中，$^{c(S)}$是商品的Black-Scholes价值。下面代码展示了用于计算认购期权价格的这个公式的实现。

import math
from scipy.stats import norm

ACCURACY = 1.0e-6

def option_price_american_call_approximated_baw(S, X, r, b, sigma, time):
    sigma_sqr = sigma * sigma
    time_sqrt = math.sqrt(time)
    nn = 2.0 * b / sigma_sqr
    m = 2.0 * r / sigma_sqr
    K = 1.0 - math.exp(-r * time)
    q2 = ((-(nn - 1) + math.sqrt(pow((nn - 1), 2.0) + (4 * m / K))) * 0.5)
    
    # seed value from paper
    q2_inf = 0.5 * ((-(nn - 1) + math.sqrt(pow((nn - 1), 2.0) + 4.0 * m)))
    S_star_inf = X / (1.0 - 1.0 / q2_inf)
    h2 = (-(b * time + 2.0 * sigma * time_sqrt)) * (X / (S_star_inf - X))
    S_seed = X + (S_star_inf - X) * (1.0 - math.exp(h2))
    
    no_iterations = 0 # iterate on S to find S_star using Newton steps
    Si = S_seed
    g = 1
    gprime = 1.0
    
    while ((abs(g) > ACCURACY) and
           (abs(gprime) > ACCURACY) and # to avoid exploding Newton's
           (no_iterations < 500) and
           (Si > 0.0)):
        c = option_price_european_call_payout(Si, X, r, b, sigma, time)
        d1 = (math.log(Si / X) + (b + 0.5 * sigma_sqr) * time) / (sigma * time_sqrt)
        g = (1.0 - 1.0 / q2) * Si - X - c + (1.0 / q2) * Si * math.exp((b - r) * time) * norm.cdf(d1)
        gprime = (1.0 - 1.0 / q2) * (1.0 - math.exp((b - r) * time) * norm.cdf(d1)) + (1.0 / q2) * math.exp((b - r) * time) * norm.pdf(d1) * (1.0 / (sigma * time_sqrt))
        Si = Si - (g / gprime)
    
    S_star = 0
    
    if (abs(g) > ACCURACY):
        S_star = S_seed # did not converge
    else:
        S_star = Si
    
    C = 0
    c = option_price_european_call_payout(S, X, r, b, sigma, time)
    
    if (S >= S_star):
        C = S - X
    else:
        d1 = (math.log(S_star / X) + (b + 0.5 * sigma_sqr) * time) / (sigma * time_sqrt)
        A2 = (1.0 - math.exp((b - r) * time) * norm.cdf(d1)) * (S_star / q2)
        C = c + A2 * pow((S / S_star), q2)
    
    return max(C, c) # known value will never be less than Black-Scholes value

BAW还可以用于估值看跌期权，通过近似计算其价值。
同样地，可以通过迭代求解$S^{**}$来进行估值，例如使用牛顿法，其中现在需要使用：

$$\begin{aligned}g(S)&=X-S-p(S)+\frac{S}{q_1}\left(1-e^{(b-r)(T-t)}N(-d_1)\right)\\g'(S)&=(\frac{1}{q_1}-1)\left(1-e^{(b-r)(T-t)}N(-d_1)\right)+\frac{1}{q_1}e^{(b-r)(T-t)}\frac{1}{\sigma\sqrt{T-t}}n(-d_1)\end{aligned}$$