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利率曲线构造：基于 Bootstrapping 方法来构建利率曲线

上海子午线大约 9 分钟

利率曲线构造：基于 Bootstrapping 方法来构建利率曲线

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引言

利率曲线是固定收益市场的核心工具，用于利率衍生品定价、风险管理和资产估值。Bootstrapping 是构造利率曲线的标准方法，它通过逐步提取贴现因子 (Discount Factor, DF) 或零息利率 (Zero-Coupon Rate, ZCR)，生成一条完整的利率曲线。构造利率曲线的过程中，除了利用 存款利率 (Depo)、利率期货 (Futures)、利率互换 (Swaps) 和债券 (Bonds)，远期利率协议 (FRA) 也是一个重要的工具，尤其在短期和中期的曲线构造中。

本文将详细介绍如何结合 存款利率、利率期货、远期利率协议 (FRA)、利率互换和债券 构造利率曲线，并通过 Bootstrapping 的迭代方法逐步生成贴现因子和零息利率。

1. Bootstrapping 方法概述

1.1 什么是 Bootstrapping 方法？

Bootstrapping 是一种迭代计算方法，用于从市场工具的报价中逐步提取贴现因子或零息利率。每次计算都基于前期计算的贴现因子，确保利率曲线与市场价格一致。

1.2 使用的市场工具

不同期限的市场工具提供了曲线的关键点：

  • 存款利率 (Depo)： 提供短期利率信息（如 1 天至 1 年）。
  • 远期利率协议 (FRA)： 提供短期到中期的远期利率信息（如 3M-6M）。
  • 利率期货 (Futures)： 提供中短期的隐含远期利率（如 3M-2Y）。
  • 利率互换 (Swaps)： 提供中长期固定利率点（如 1Y-30Y）。
  • 债券 (Bonds)： 提供长期利率信息（如 10Y-30Y）。

1.3 构造目标

  • 贴现因子 (DF)： 用于现金流折现。
  • 零息利率 (ZCR)： 用于估算无息支付的收益率。
  • 隐含远期利率 (Forward Rate)： 用于定价未来的利率衍生品。

2. Bootstrapping 的具体步骤

2.1 使用存款利率 (Depo) 提取短期贴现因子

存款利率提供短期贴现因子，通常用于 1 天至 1 年的期限。

假设与公式

  • 已知： 存款期限 TT 和存款利率 rDepor_{Depo}。
  • 贴现因子公式：
    DF(T)=11+rDepo⋅T DF(T) = \frac{1}{1 + r_{Depo} \cdot T}
    其中 TT 为以年的存款期限。

示例

  • 存款期限：3M (0.25 年)，存款利率 rDepo=2%r_{Depo} = 2\%。
  • 贴现因子：
    DF(0.25)=11+0.02⋅0.25=0.995 DF(0.25) = \frac{1}{1 + 0.02 \cdot 0.25} = 0.995

存款利率用于构造短期曲线的基础部分。

2.2 使用远期利率协议 (FRA) 提取隐含远期利率

FRA 是常见的利率衍生品，提供短期到中期的远期利率信息。通过 FRA，可以推导出未来某一时间段的隐含远期利率。

假设与公式

  • 已知： FRA 终止时间 T2T_2、起始时间 T1T_1、FRA 利率 rFRAr_{FRA}。
  • 贴现因子公式：
    DF(T2)=DF(T1)⋅11+rFRA⋅(T2−T1) DF(T_2) = DF(T_1) \cdot \frac{1}{1 + r_{FRA} \cdot (T_2 - T_1)}
    其中：
    • T1T_1：FRA 开始时间。
    • T2T_2：FRA 结束时间。
    • DF(T1)DF(T_1)：已知贴现因子。

示例

  • FRA：3M-6M（从 3 个月到 6 个月），FRA 利率 rFRA=2.5%r_{FRA} = 2.5\%。
  • 已知贴现因子 DF(0.25)=0.995DF(0.25) = 0.995。
  • 新的贴现因子：
    DF(0.5)=DF(0.25)⋅11+0.025⋅(0.5−0.25)=0.995⋅0.9938=0.989 DF(0.5) = DF(0.25) \cdot \frac{1}{1 + 0.025 \cdot (0.5 - 0.25)} = 0.995 \cdot 0.9938 = 0.989

FRA 通常覆盖 3 个月到 1 年的期限，是构造短期和中期曲线的重要工具。

2.3 使用利率期货 (Futures) 推导中短期隐含远期利率

利率期货提供未来 3 个月的利率信息，通常覆盖 3 个月到 2 年的中短期部分。

假设与公式

  • 已知： 利率期货价格 FF。
  • 隐含远期利率公式：
    rFutures=100−F r_{Futures} = 100 - F
  • 贴现因子公式：
    DF(T)=DF(T1)⋅11+rFutures⋅ΔT DF(T) = DF(T_1) \cdot \frac{1}{1 + r_{Futures} \cdot \Delta T}
    其中 T1T_1 为期货起始时间，ΔT\Delta T 为期货覆盖的时间长度（通常为 3 个月）。

示例

  • 利率期货价格：F=97.5F = 97.5，对应利率 rFutures=100−97.5=2.5%r_{Futures} = 100 - 97.5 = 2.5\%。
  • 使用贴现因子 DF(0.5)=0.989DF(0.5) = 0.989。
  • 新的贴现因子：
    DF(0.75)=DF(0.5)⋅11+0.025⋅0.25=0.989⋅0.9938=0.983 DF(0.75) = DF(0.5) \cdot \frac{1}{1 + 0.025 \cdot 0.25} = 0.989 \cdot 0.9938 = 0.983

利率期货通常覆盖 3 个月至 2 年的中短期部分。

2.4 使用利率互换 (Swaps) 构造中长期曲线

利率互换提供中长期固定利率点，可用于构造 1 年至 30 年的曲线。

假设与公式

  • 已知： 互换期限 TT、互换固定利率 rSwapr_{Swap}、浮动利率覆盖的贴现因子 DF(Ti)DF(T_i)。
  • 互换定价公式：
    ∑i=1nrSwap⋅ΔTi⋅DF(Ti)+DF(Tn)=1 \sum_{i=1}^{n} r_{Swap} \cdot \Delta T_i \cdot DF(T_i) + DF(T_n) = 1
    其中：
    • ΔTi\Delta T_i：现金流间隔（如 6 个月）。
    • DF(Tn)DF(T_n)：未知贴现因子。

计算步骤

  1. 使用已知贴现因子计算部分现金流现值。
  2. 解方程，计算未知贴现因子。

示例

  • 2 年互换，固定利率 rSwap=3%r_{Swap} = 3\%，现金流间隔 6 个月。
  • 已知贴现因子：DF(0.5)=0.989,DF(1)=0.980,DF(1.5)=0.970DF(0.5) = 0.989, DF(1) = 0.980, DF(1.5) = 0.970。
  • 方程：
    0.03⋅(0.5⋅0.989+0.5⋅0.980+0.5⋅0.970+0.5⋅DF(2))+DF(2)=1 0.03 \cdot (0.5 \cdot 0.989 + 0.5 \cdot 0.980 + 0.5 \cdot 0.970 + 0.5 \cdot DF(2)) + DF(2) = 1
  • 解得：DF(2)=0.960DF(2) = 0.960。

2.5 使用债券 (Bonds) 补充长期贴现因子

债券提供补充的长期利率信息。

假设与公式

  • 已知： 债券价格 PP、票息 CC、期限 TT。
  • 贴现因子公式：
    P=∑i=1nC(1+rn)Ti+F(1+rn)Tn P = \sum_{i=1}^{n} \frac{C}{(1 + r_{n})^{T_i}} + \frac{F}{(1 + r_{n})^{T_n}}
    其中：
    • CC：每期票息。
    • FF：债券面值。
    • rnr_n：零息收益率。

3. 利率曲线构造的完整流程

  1. 短期部分（存款利率）： 使用存款利率计算贴现因子。
  2. 中短期部分（FRA+期货）： 使用 FRA 和利率期货提取隐含远期利率。
  3. 中长期部分（互换）： 使用利率互换构造中长期贴现因子。
  4. 长期部分（债券）： 使用债券收益率补充长期曲线。

4. 应用与意义

  • 衍生品定价： 利率期权、互换等产品的基础工具。
  • 风险管理： 衡量利率风险（如久期和凸性）。
  • 资产负债管理： 银行、保险公司使用曲线贴现现金流。

5. 构造过程示例

以下是一个完整的例子，展示如何利用市场数据（存款利率、FRA、利率期货和互换）通过 Bootstrapping 方法构造利率曲线。

5.1. 市场数据

假设以下是市场上已经给出的利率数据：

5.1.1 存款利率（Deposits）

期限年化利率 (%)
1W2.00
1M2.10
3M2.20

5.1.2 远期利率协议（FRA）

起始时间结束时间FRA 利率 (%)
3M6M2.50
6M9M2.70

5.1.3 利率期货（Futures）

到期期限期货价格隐含利率 (%)
9M97.202.80
12M96.903.10

（隐含利率通过公式 rFutures=100−期货价格r_{\text{Futures}} = 100 - \text{期货价格} 得到）

5.1.4 利率互换（Swaps）

期限互换固定利率 (%)
2Y3.50
3Y3.80

5.2. 目标

我们通过 Bootstrapping 方法，从上述市场数据中逐步提取贴现因子 (Discount Factor, DFDF) 和零息利率 (Zero-Coupon Rate, rr)，最终构建完整的利率曲线。

5.3. Bootstrapping 的逐步计算

5.3.1 使用存款利率计算短期贴现因子

公式

对于存款利率，贴现因子计算公式为：
DF(T)=11+r⋅T DF(T) = \frac{1}{1 + r \cdot T}
其中：

  • rr：年化利率（存款利率）。
  • TT：存款期限（以年为单位）。
计算

  1. 1 周（1W, T=1/52T = 1/52）：
    DF(1/52)=11+0.02⋅152=0.999615 DF(1/52) = \frac{1}{1 + 0.02 \cdot \frac{1}{52}} = 0.999615

  2. 1 个月（1M, T=1/12T = 1/12）：
    DF(1/12)=11+0.021⋅112=0.998253 DF(1/12) = \frac{1}{1 + 0.021 \cdot \frac{1}{12}} = 0.998253

  3. 3 个月（3M, T=3/12=0.25T = 3/12 = 0.25）：
    DF(0.25)=11+0.022⋅0.25=0.994511 DF(0.25) = \frac{1}{1 + 0.022 \cdot 0.25} = 0.994511

5.3.2 使用 FRA 提取隐含远期利率和贴现因子

公式

FRA 的贴现因子计算公式为：
DF(T2)=DF(T1)⋅11+rFRA⋅(T2−T1) DF(T_2) = DF(T_1) \cdot \frac{1}{1 + r_{FRA} \cdot (T_2 - T_1)}
其中：

  • T1T_1：FRA 开始时间。
  • T2T_2：FRA 结束时间。
  • rFRAr_{FRA}：FRA 报价利率。
计算

  1. 3M-6M FRA（从 3 个月到 6 个月）：
    已知 DF(0.25)=0.994511DF(0.25) = 0.994511，rFRA=2.50%r_{FRA} = 2.50\%，T2−T1=0.25T_2 - T_1 = 0.25。
    DF(0.5)=DF(0.25)⋅11+0.025⋅0.25 DF(0.5) = DF(0.25) \cdot \frac{1}{1 + 0.025 \cdot 0.25}
    DF(0.5)=0.994511⋅0.9938=0.988386 DF(0.5) = 0.994511 \cdot 0.9938 = 0.988386

  2. 6M-9M FRA（从 6 个月到 9 个月）：
    已知 DF(0.5)=0.988386DF(0.5) = 0.988386，rFRA=2.70%r_{FRA} = 2.70\%，T2−T1=0.25T_2 - T_1 = 0.25。
    DF(0.75)=DF(0.5)⋅11+0.027⋅0.25 DF(0.75) = DF(0.5) \cdot \frac{1}{1 + 0.027 \cdot 0.25}
    DF(0.75)=0.988386⋅0.99325=0.981904 DF(0.75) = 0.988386 \cdot 0.99325 = 0.981904

5.3.3 使用利率期货提取贴现因子

公式

通过利率期货的隐含利率计算贴现因子：
DF(T)=DF(T1)⋅11+rFutures⋅ΔT DF(T) = DF(T_1) \cdot \frac{1}{1 + r_{\text{Futures}} \cdot \Delta T}
其中：

  • rFuturesr_{\text{Futures}}：期货隐含利率。
  • ΔT\Delta T：期货覆盖时间（通常为 3 个月）。
计算

  1. 9M（从 9 个月到 12 个月）：
    利率期货隐含利率为 rFutures=2.80%r_{\text{Futures}} = 2.80\%，T2−T1=0.25T_2 - T_1 = 0.25，DF(0.75)=0.981904DF(0.75) = 0.981904。
    DF(1)=DF(0.75)⋅11+0.028⋅0.25 DF(1) = DF(0.75) \cdot \frac{1}{1 + 0.028 \cdot 0.25}
    DF(1)=0.981904⋅0.9930=0.975021 DF(1) = 0.981904 \cdot 0.9930 = 0.975021

  2. 12M（从 12 个月到 15 个月）：
    利率期货隐含利率为 rFutures=3.10%r_{\text{Futures}} = 3.10\%，DF(1)=0.975021DF(1) = 0.975021。
    DF(1.25)=DF(1)⋅11+0.031⋅0.25 DF(1.25) = DF(1) \cdot \frac{1}{1 + 0.031 \cdot 0.25}
    DF(1.25)=0.975021⋅0.99225=0.967675 DF(1.25) = 0.975021 \cdot 0.99225 = 0.967675

5.3.4 使用互换提取中长期贴现因子

公式

对于利率互换，贴现因子满足以下定价公式：
∑i=1nrSwap⋅ΔT⋅DF(Ti)+DF(Tn)=1 \sum_{i=1}^{n} r_{Swap} \cdot \Delta T \cdot DF(T_i) + DF(T_n) = 1
其中：

  • rSwapr_{Swap}：互换固定利率。
  • ΔT\Delta T：现金流间隔（如 6 个月）。
  • DF(Ti)DF(T_i)：已知贴现因子。
计算
  1. 2 年互换（固定利率 rSwap=3.50%r_{Swap} = 3.50\%）：
    假设现金流间隔为 6 个月，已知 DF(0.5),DF(1),DF(1.5)DF(0.5), DF(1), DF(1.5)，我们需要计算 DF(2)DF(2)。
    0.035⋅(0.5⋅0.988386+0.5⋅0.975021+0.5⋅DF(1.5)+0.5⋅DF(2))+DF(2)=1 0.035 \cdot (0.5 \cdot 0.988386 + 0.5 \cdot 0.975021 + 0.5 \cdot DF(1.5) + 0.5 \cdot DF(2)) + DF(2) = 1
    已知 DF(1.5)=0.960DF(1.5) = 0.960（通过前期计算得出）。
    解方程得到：
    DF(2)=0.945 DF(2) = 0.945

5.4. 最终利率曲线

通过逐步计算，我们得到以下贴现因子和隐含零息利率：

期限 (T)贴现因子 (DF)零息利率 (%)
1W0.9996152.00
1M0.9982532.10
3M0.9945112.20
6M0.9883862.50
9M0.9819042.80
1Y0.9750213.10
2Y0.9453.50

总结

通过存款利率、FRA、利率期货和利率互换构造利率曲线的 Bootstrapping 方法，逐步提取贴现因子和零息利率，确保曲线与市场报价一致。这种方法在利率衍生品定价、风险管理和资产估值中具有重要应用。

5. 总结

Bootstrapping 方法结合存款利率、FRA、期货、互换和债券等工具，逐步构造一条贴现因子曲线，确保与市场数据一致。这一方法为利率衍生品定价和风险管理提供了基础，是固定收益市场不可或缺的技术工具。

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