均值方差与标准差

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在统计学中，以下指标是数据分析中常用的基本概念，它们各自侧重于描述数据的集中趋势或离散程度。以下是这些概念的详细解释及区别：

1. 均值（Mean）和平均值（Average）

均值和平均值通常是同义词，表示数据的集中趋势，即一组数据的“中心位置”。它通过将所有数据相加后，除以数据的总个数得到。

公式：
对于一组数据 $x_1, x_2, \dots, x_n$，均值（$\bar{x}$）为：

$$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$$

解释：

• 均值是一个容易计算且直观的指标。
• 它常用于对称分布的数据，但对极端值（离群值）敏感。

示例：
数据：2, 4, 6, 8

$$\bar{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 8}{4} = 5$$

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2. 中值（Median）

中值表示数据在排序后处于中间位置的值，是一种集中趋势的度量。中值不受极端值的影响，因此更适合描述偏态分布的数据。

计算方法：

1. 将数据按从小到大的顺序排列。
2. 数据个数：
   • 奇数个数据：中值是排序后正中间的那个值。
   • 偶数个数据：中值是排序后中间两个数的平均值。

公式：
对于数据个数 $n$：

• 若 $n$ 为奇数：

  $$中值 = x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}$$

• 若 $n$ 为偶数：

  $$中值 = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2}$$

示例：

• 数据：1, 3, 4, 5, 7（奇数）
  中值 = 4（第 3 个数）。
• 数据：1, 3, 4, 7（偶数）
  中值 = $\frac{3+4}{2} = 3.5$。

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3. 方差（Variance）

方差是衡量数据分布离散程度的重要指标，表示数据点与均值的偏差平方的平均值。方差越大，数据的波动性越大。

公式：
对于一组数据 $x_1, x_2, \dots, x_n$，均值为 $\bar{x}$，方差（$\sigma^2$）为：

$$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n}$$

解释：

• 方差通过平方运算放大了偏差值，因此对离群值较敏感。

示例：
数据：2, 4, 6, 8，均值 $\bar{x} = 5$

$$\sigma^2 = \frac{(2-5)^2 + (4-5)^2 + (6-5)^2 + (8-5)^2}{4} = \frac{9 + 1 + 1 + 9}{4} = 5$$

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4. 平均方差（Mean Absolute Deviation, MAD）

平均方差是每个数据点与均值偏差的绝对值的平均值，用于衡量数据的离散程度。

公式：
对于一组数据 $x_1, x_2, \dots, x_n$，均值为 $\bar{x}$，平均方差（MAD）为：

$$MAD = \frac{\sum_{i=1}^n |x_i - \bar{x}|}{n}$$

解释：

• 与方差相比，平均方差使用绝对值而非平方，因此对离群值不敏感。
• 平均方差更接近于数据的实际偏离程度。

示例：
数据：2, 4, 6, 8，均值 $\bar{x} = 5$

$$MAD = \frac{|2-5| + |4-5| + |6-5| + |8-5|}{4} = \frac{3 + 1 + 1 + 3}{4} = 2$$

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5. 标准方差（Standard Variance）

标准方差是方差的另一个名称，指的是数据偏离均值的平方的平均值（即方差）。在统计学中，标准方差和方差通常可以互换使用。

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6. 标准差（Standard Deviation）

标准差是方差的平方根，用于衡量数据的离散程度。与方差相比，标准差的单位与原始数据一致，因此更容易解释。

公式：

$$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$$

解释：

• 标准差可以直观地表示数据偏离均值的程度。
• 标准差越大，数据分布越分散；标准差越小，数据分布越集中。

示例：
数据：2, 4, 6, 8，方差 $\sigma^2 = 5$

$$\sigma = \sqrt{5} \approx 2.236$$

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适用场景

1. 均值：适用于对称分布的数据。
2. 中值：适用于含有极端值或偏态分布的数据（如收入、房价）。
3. 方差和标准差：用于度量数据分布的离散程度，尤其在统计推断中常用。
4. 平均方差：更直观地反映偏差，不易受极端值影响。

这些指标通常结合使用，以全面了解数据的分布特征。