构建 Swaption Cube 的实践与模型

一、Swaption Cube

在利率衍生品交易与风控中，Swaption Cube（互换期权立方体）是一个核心定价/对冲工具。它将不同到期（Expiry）、不同行权价（Strike）和不同互换期限（Swap Tenor）下的隐含波动率（Implied Volatility）组织成一个三维网格，支持对任意组合的 Swaption 进行快速定价和敏感度分析。

二、Swaption解释

• Swaption 是买方（或卖方）在未来某一日期获得进入（或退出）一个利率互换（IRS）的权利。
• 交易对手关心的核心参数是该权利的隐含波动率，它反映了市场对未来利率波动性的预期。
• 但衍生品交易常常跨多种到期和互换期限：例如 2Y→5Y、5Y→10Y、10Y→30Y 等。
• 单条 ATM 曲线已无法覆盖全部需求，必须构建一张包含非 ATM Strike 的完整 Surface，进而组合成 Cube，以支撑跨期限交易定价与风险管理。

三、市场数据与报价形式

1. ATM 报价

市场上最常见的 Swaption 报价是 ATM Volatility：

• Period：Swaption 的到期，比如 1Y、2Y …
• Strike：对应这一期限下的 ATM 行权价——通常取当期的 par swap rate（平价互换利率）。
• Vol：给出这一行权价下的年化隐含波动率。

下面是路孚特ATM EUR Vol的示例：

image-20250630104547584

2. 非 ATM 报价

除了 ATM，部分市场还会提供：

• Risk-Reversal (RR)、Butterfly (BF)：反映 OTM Call/Put 的 skew/butterfly；
• OTM Vols：直接给出某些偏离 ATM 的特定 Strike 下的隐含波动率。

如果只有 ATM 数据，就必须借助参数化模型（如 SABR）或做出特定插值假设，才能“填满”整个 Strike 维度。

下面是路孚特非ATM Vol的示例：

image-20250630104700161

四、Normal Vol vs. Black Vol

在利率期权定价中，主要有两种波动率口径：

	Bachelier 模型（Normal Vol）	Black-76 模型（Black Vol）
波动率含义	绝对波动率：$\sigma_n$（单位：bp）	相对波动率：$\sigma_b$（%）
定价公式	$C = N\bigl((F-K)/(\sigma_n\sqrt{T})\bigr)\times\sigma_n\sqrt{T}$	经典 Black-76：$C = B\,N(d_1) – K\,B\,N(d_2)$
适用场景	低利率 / 利率或价差可负环境	利率正值居多的传统环境
互转关系	需数值解方程：将 Normal-Price ⇄ Black-Price 对应 σ 解算	ATM 附近可近似 $\sigma_b\approx\sigma_n/F$

在后危机低利率环境下，Normal Vol 越来越受到青睐。但许多历史模型（如 Black-76、SABR）本身是以 log-normal 假设为基础，因此需要在两种口径间灵活转换。

注意，在MCP定价系统中也会这样使用：

• Price‐Vol（Normal Vol，Bachelier）
• Yield‐Vol（Log-Normal Vol，Black-76）

详细请参考：正态与对数正态波动率 (NORMAL VS LOG-NORMAL VOLATILITY)

五、Swaption Cube 构建流程

下面给出一个从市场 ATM 报价 → 参数化模型 → 三维插值立方体的经典流程。

1. 数据准备

1. 收集 ATM 曲线

   • 到期 $\{T_i\}$：例如 1Y、2Y、3Y…30Y。
   • ATM 行权价 $\{K_i\}$：对应的 par swap rate 或 swaption ATM strike。
   • ATM 波动率 $\{\sigma_i\}$：可选 Normal/Black 口径。

2. （可选）收集 OTM Skew 数据

   • RR/BF 或若干 In/Out Strikes 的 Vol。

3. 确定互换起止结构

   • 常见 Swap Tenor：1Y、2Y、5Y、10Y…30Y。

2. 模型选型

2.1 参数化 Skew：SABR

最常见的做法是对每对 $(T_i,\text{SwapTenor}_j)$ 校准一组三参数 SABR：

$$\{\alpha_{ij},\;\rho_{ij},\;\nu_{ij}\}$$

• 通过 ATM Vol 反解出 $\alpha$；
• 若有 Skew 数据，则同时最小二乘拟合 $\rho,\nu$；
• 否则可对 $\rho,\nu$ 做平滑插值或历史估计。

得到每个节点的 SABR 参数后，即可用 Hagan 公式在任意 Strike $K$ 下输出 $\sigma_{ij}(K)$。

2.2 非参数化插值

若市场提供了足够多的 OTM Vol 点，也可直接在 Strike 维度做 1D 插值（线性、Spline 等），无需模型假设。

3. 三维插值架构

1. Strike 维度

   • 对每个 $(T_i,\text{SwapTenor}_j)$ ，用 SABR 或 1D 插值生成一条 Vol vs. Strike 曲线。

2. Expiry 维度

   • 对固定 Swap Tenor，插值不同到期 $\{T_i\}$ 下的 Vol 曲线，形成 Vol Surface。

3. Swap Tenor 维度

   • 对不同互换期限 $\{\text{SwapTenor}_j\}$，在固定 $(T,K)$ 上插值，形成完整 Swaption Cube。

整个过程可视为三次连续的一维插值／外推，或使用专门的 3D 插值库（trilinear、spline、Kriging 等）。