美式期权：从 BAW 近似到 Longstaff-Schwartz

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站内已有两篇美式：产品介绍讲权利，BAW 二次近似给公式。读完常会剩一个问题：为什么有的美式用一个闭式就够，有的必须上蒙特卡洛？

本文用很小的例子，把「提前行权」从直觉推到 Longstaff-Schwartz（LSMC）。猛犸的 CPU / GPU 实现走的就是这条算法；细节留给动手，这里先把思路学顺。

1. 先问一件事：提前行权到底在比什么

欧式只能到期行权。美式可以在存续期内任一天（或一串约定日）行权。所以美式价格 = 欧式价格 + 提前行权溢价。

溢价从哪来？在每一个可能行权的时点 $t$ ，持有人比较两件事：

\text{立即行权收益}=h(S_t),\qquad \text{继续持有的价值}=\mathbb{E}\bigl[e^{-r\Delta t}\,V_{t+\Delta t}\mid S_t\bigr]

$h(S_t)$ 对看跌是 $\max(K-S_t,0)$ ，对看涨是 $\max(S_t-K,0)$ 。只有左边更大，才应该行权。美式定价的全部困难，就是右边这个 条件期望 没有闭式。

想一想。 无股息股票的美式看涨，通常不该提前行权：活着的期权还带着时间价值和保险。美式看跌、支付股息的看涨、外汇里 $r$ 与 $q$ 差得大的一边，提前行权会变成理性选择。外汇、商品、股指上的美式，多数属于后一类。

Barone-Adesi–Whaley 把美式价拆成「欧式 + 溢价」，再假设溢价也满足同一个 PDE，并丢掉一个小项，得到一个能手算的临界股价 $S^*$ ：高于（看涨）或低于（看跌）这条线，就立即行权。

它要求的世界比较干净：

满足这三条时，BAW 又快又稳，Excel 里一张表就能报。一旦出现 离散分红、 Bermudan 观察日、路径依赖（比如「平均价达到某水平才允许行权」），临界价格不再是一条与路径无关的曲线，BAW 就会系统性偏。

二叉树可以处理离散分红和 Bermudan，但状态一变多（多标的、路径统计量），树的节点数爆炸。这时需要换一条能「只在路径上做决定」的方法。

Longstaff 与 Schwartz（2001）的想法可以一句话说完：

在每个行权日，只看 已经实值 的路径，用当前股价的简单函数去拟合「若现在不行权，这条路径后头能收回多少」，再和立即行权比。

常用的拟合是二次多项式（基函数 $1,\,S,\,S^2$ ）：

\mathbb{E}\bigl[Y\mid S\bigr]\;\approx\;\beta_0+\beta_1 S+\beta_2 S^2

$Y$ 是该路径上 未来现金流贴现回此刻 的值。回归只用实值路径，虚值路径没有行权收益，不必参加拟合。

为了看清步骤，把世界缩到不能再小：看跌， $K=100$ ，只剩一个中间行权日，三条路径。中间日的股价和「若坚持到到期能收回的贴现值」如下：

路径	中间日 $S$	立即行权 $K-S$	坚持到期的贴现现金流 $Y$
1	90	10	8
2	95	5	6
3	110	0（虚值，不参与回归）	1

只用路径 1、2，对 $Y\sim a+bS$ 做最小二乘（教学上先丢掉 $S^2$ ）。直观上， $S$ 越低， $Y$ 越大，拟合线会从左上往右下倾斜。

最后把每条路径 最终认定的现金流 贴现回今天，取平均，就是 LSMC 价格。真实计算会有几千到几万条路径、十几个行权日，每一步都重复「回归 → 比较 → 改现金流」，但从后往前做，和树上的倒推是同一个方向。

想一想。 如果回归基函数选得太少，延续价值会被抹平，该行权的路径可能被判断成「再等等」，美式价会偏欧式；基函数太多，又会把噪声拟合进去。实务上 $[1,S,S^2]$ 对单标的香草美式通常够用。

一条实用规则：先用 BAW 或粗树看提前行权溢价占欧式价的百分之几。溢价很小，闭式就够报；溢价大、或条款里有「只能在这些日子行权 / 还依赖路径」，再开 LSMC。

路径数和步数是精度旋钮。路径太少，回归系数抖，价格会随随机种子跳；步数太少，等于把美式当成只在几个稀疏日子可活的 Bermuda。对账时要固定种子，并看「加倍路径后价格还动不动」。

LSMC 的贵，往往不在「生成随机数」，而在 每个行权日都要把路径上的 $S$ 和现金流凑在一起做一次回归。若路径在加速卡上、回归在 CPU 上，每个时间步都要来回搬数据。

猛犸对单标的二次回归把这条计算留在设备端：路径生成、组装回归、比较行权、改现金流，尽量在同一块处理器上做完。没有 GPU 时自动回到 CPU，接口不变，只是吞吐低一些。对学习者，只需记住：算法是 LSMC，硬件只决定同一道题能算多少条路径。

把美式价理解成「欧式再乘一个系数」。 溢价依赖利率、股息、期限和虚实值，不是一个固定比例。

在虚值区也做回归。 虚值路径的立即收益是 0，混进回归会把延续价值曲线拉歪。标准做法是只回归实值路径。

用很少路径报正式价格。 教学用几百条就够看懂；报价至少要看到「再加路径，价差小于你在乎的那个 pip」。

离散分红仍用 BAW。 除权日附近，临界价格会跳。树或 LSMC 才能把除权写进路径。

在期权计算器里用同一组 $S,K,r,\sigma,T$ 先看欧式，再切美式。差价就是提前行权溢价。若再把股息改成「某日一次性分红」，BAW 和 LSMC 的差别会比改连续股息时更明显——这是检验自己是否真的理解本节的一个小实验。