附录 B　绩效公式

本附录收录正文第 4 章（绩效）涉及的全部公式。绩效数字不是算出来的，是定义出来的——每个公式后面的「口径提示」与公式本身同样重要。

B.1 简单收益率（持有期收益率，HPR）

$$R_{\text{hpr}} = \frac{V_T - V_0 + CF}{V_0}$$

其中 $V_0$、$V_T$ 为期初、期末组合价值，$CF$ 为期间现金流（票息、分红等收入为正）。

业务含义：回答「每 1 元本金赚了多少钱」——期末减期初，除以期初。

使用场景：期间无申购赎回的组合，简单收益率就是完美答案。隐含前提是「期间没有一分钱进出」；现金流一进来，分母就开始摇晃，必须改用 TWR 或 MWR（见第 4 章 §4.1.1）。

B.2 总收益率（金额轨与比率轨）

$$R_{\text{total}} = \frac{V_T - C_0}{C_0}$$

其中 $C_0$ 为初始资金（分母口径：初始资金 / 日均占用 / 月末规模，三者任选但须标明）。

业务含义：回答「这段时间的收益率是多少」——分子是金额轨（累计损益，回答「赚了多少」），除以分母后得到比率轨（回答「表现如何」）。双轨同源：两个口径从同一条组合价值时间序列里长出来，天然咬合。

使用场景：月度绩效报告。纪律：报收益率必须同时报分母口径——只报一个百分比、不报分母，等于报了一个没有单位的数字（见第 4 章 §4.1.2、§4.1.3）。

B.3 时间加权收益率（TWR）

在每笔现金流进出的时点上把净值「切段」，段内算收益率，段间首尾相乘：

$$1 + R_{\text{TWR}} = \prod_{i=1}^{n} (1 + r_i), \qquad r_i = \frac{V_i^{-} - V_{i-1}^{+}}{V_{i-1}^{+}}$$

其中 $V_{i-1}^{+}$ 为第 $i-1$ 个现金流时点之后的市值（新钱已计入），$V_i^{-}$ 为第 $i$ 个现金流时点之前的市值（旧钱还没走）。

业务含义：回答「管理人把 1 元钱从头到尾管得怎么样」——刻意剔除现金流时点的影响，因为申购赎回是客户决定的，不是投资经理决定的。

使用场景：投资经理考核、管理人之间的横向比较（GIPS 等国际呈报标准要求对外报 TWR）。示例：上半年涨 5%、7 月大额申购、下半年跌 2%，TWR = 1.05 × 0.98 − 1 = +2.9%——产品赚钱，但 7 月进来的客户只经历了 −2%（见第 4 章 §4.2.1、§4.2.2）。

B.4 资金加权收益率（MWR / IRR）

资金加权收益率 $r$ 是使「各笔现金流按 $r$ 复利到期末」等于期末市值的折现率：

$$V_T = \sum_{i=0}^{n} CF_i \times (1+r)^{\,T - t_i}$$

其中 $CF_i$ 为 $t_i$ 时点的现金流（投入为正、取回为负），$T$ 为期末。方程无解析解，数值迭代求解。

业务含义：回答「考虑每一笔钱的进出时点，这笔投资实际的回报是多少」——钱什么时候进、什么时候出、进出多少，全部计入。TWR 是管理人的成绩单，MWR 是客户的对账单。

使用场景：客户体验评估、渠道考核。「基金赚钱、基民亏钱」的度量工具：产品 TWR +2.9% 而全体客户合计 MWR 为负，主因是申购集中在净值高点（见第 4 章 §4.2.3、§4.2.4）。

B.5 几何年化收益率

$$R_{\text{ann}} = (1 + R_{\text{hpr}})^{1/T} - 1, \qquad 1 + R_{\text{hpr}} > 0$$

其中 $T$ 为持有期换算成的年数（自然日天数 / 365）。

业务含义：回答「如果这个收益节奏持续一年，收益率是多少」——本质是一次外推，隐含假设是「未来每一段都和已发生的这段一样」。

使用场景：横向比较不同期限的收益。纪律：年化数字必须带窗口长度——「近三月年化」与「成立以来年化」是两个物种；窗口短于一年的年化只能用于横向比较，不能用于预期管理（三周 1.5% 年化 29% 即为典型误导，见第 4 章 §4.5.1）。

B.6 超额收益：算术与几何

算术超额：

$$ER_{\text{arith}} = R_p - R_b$$

几何超额：

$$ER_{\text{geom}} = \frac{1 + R_p}{1 + R_b} - 1$$

业务含义：回答「跑赢基准多少」——两种算法结果不一样：组合 4%、基准 3%，算术超额 1.00%，几何超额约 0.97%。单期差异不大，多期累计会分叉。

使用场景：相对收益考核。跨币种组合必须用几何口径，才能避免汇率带来的幻觉；读外部报告时先确认口径（见第 4 章 §4.4.3）。

B.7 波动率（年化）

$$\sigma_{\text{ann}} = s \times \sqrt{252}$$

其中 $s$ 为日收益序列的样本标准差，252 为年化因子（年交易日数）。

业务含义：回答「收益的不确定性有多大」——收益序列围绕均值的离散程度。

使用场景：夏普比率等风险调整指标的分母。口径陷阱：周度快照会漏掉周内的起伏，波动率被低估——两个产品波动率相同，一个按日频算、一个按周频算，不可比（见第 4 章 §4.5.2）。

B.8 夏普比率（Sharpe Ratio）

$$\text{SR} = \frac{\bar{r} - r_f}{\sigma} \quad \Longrightarrow \quad \text{SR}_{\text{ann}} = \frac{(\bar{r} - r_f) \times 252}{s \times \sqrt{252}}$$

其中 $\bar{r}$ 为步收益样本均值，$r_f$ 为无风险利率（与步长同频），$\sigma$ 为波动率。

业务含义：回答「每承担一单位波动，换来多少超额收益」——把收益和波动放进一个数，是机构比较产品的通用语言。

使用场景：产品横向比较、风险调整后考核。纪律：夏普必须带三件套——无风险利率口径、数据频率、样本窗口。同一个组合，无风险利率取 2% 还是 3%，夏普可以从 2.4 掉到 1.6；20 个观测和 250 个观测算出的夏普，统计可靠性天差地别（见第 4 章 §4.5.2）。

B.9 最大回撤（Maximum Drawdown）

$$\text{MDD} = \max_t \frac{P_t - V_t}{P_t}, \qquad P_t = \max_{k \le t} V_k \ \text{（历史峰值）}$$

业务含义：回答「最坏的一波下跌有多深」——从历史峰值到其后谷底的最大跌幅。客户不一定懂波动率，但一定记得住「最多的时候亏了多少」；回撤不是统计指标，是会自我实现的行为变量（回撤触发赎回、赎回迫使抛售、抛售加剧下跌）。

使用场景：客户体验与产品风险画像。两个工程边界：峰值必须为正（净值长期为负的空头组合，常规定义失效）；净值穿零时「相对峰值的跌幅」超过 100%，数字失去直觉含义——超出适用域的数字，不报比报错更危险（见第 4 章 §4.5.3）。

B.10 其他风险调整指标（备查）

指标	公式	业务含义
索提诺比率（Sortino）	$\dfrac{\bar{r} - r_f}{\sigma_{\text{下行}}}$	只惩罚下行波动，上行波动不算「风险」
信息比率（IR）	$\dfrac{R_p - R_b}{\text{TE}}$	每单位主动风险（跟踪误差）换来多少超额收益
跟踪误差（TE）	$\text{TE} = \text{std}(R_p - R_b)$	组合偏离基准的程度
卡玛比率（Calmar）	$\dfrac{R_{\text{ann}}}{\text{MDD}}$	年化收益与最大回撤之比，「摔得多狠」视角的性价比
特雷诺比率（Treynor）	$\dfrac{\bar{r} - r_f}{\beta}$	每单位系统性风险（Beta）换来的超额收益

使用场景：与夏普同一族的风险调整语言，各自替换分母（下行波动、跟踪误差、最大回撤、Beta）。选用哪一个属于绩效制度，须与考核办法一致；同一套「三件套」纪律（口径、频率、窗口）全部适用（见第 4 章 §4.5.2）。

B.11 执行缺口（Implementation Shortfall，Perold 1988）

纸面组合与实际组合的收益差——「决定买」到「真买到」之间市场收取的全部过路费：

$$\text{IS} = R_{\text{纸面}} - R_{\text{实际}} = \underbrace{(P_{\text{下单}} - P_{\text{决策}})}_{\text{延迟成本}} + \underbrace{(P_{\text{成交}} - P_{\text{下单}})}_{\text{冲击成本}} + \underbrace{\text{执行期价格漂移}}_{\text{择时成本}} + \underbrace{\frac{Q_{\text{未成交}}}{Q_{\text{计划}}} \times \Delta P_{\text{后续}}}_{\text{机会成本}}$$

按买入方向列示（卖出取反）；各项以价格差 × 成交数量换算为金额。

业务含义：回答「这笔交易的执行成本是多少、贵在哪一段」——延迟成本问决策链条，冲击成本问执行技术，择时成本问执行窗口，机会成本问限价与流动性的权衡。不拆开，四笔账永远互相甩锅。

使用场景：交易执行质量评估、通道与算法交易横向比较、「交易能力」的归因。口径纪律：TCA 报告第一行应写基准价——到达价 / 开盘价 / VWAP / TWAP / 收盘价，选哪个基准就定义了哪种「执行好坏」；固收无连续报价与公开 VWAP，实务上以中债估值加减点差带为替代基准，且须注意估值是中间价口径（见第 4 章 §4.3.4）。

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附：本附录公式与正文章节对照

公式	正文章节
B.1 简单收益率	第 4 章 §4.1.1
B.2 总收益率	第 4 章 §4.1.2、§4.1.3
B.3 TWR	第 4 章 §4.2.2
B.4 MWR	第 4 章 §4.2.3、§4.2.4
B.5 几何年化	第 4 章 §4.5.1
B.6 超额收益	第 4 章 §4.4.3
B.7–B.8 波动率与夏普	第 4 章 §4.5.2
B.9 最大回撤	第 4 章 §4.5.3
B.10 其他风险调整指标	第 4 章 §4.5.2
B.11 执行缺口	第 4 章 §4.3.4

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