从期权市场提取隐含远期与隐含股息曲线：原理与实践

一、单个执行价的隐含远期推导

基本原理：看跌-看涨平价

对同一到期日 $T$ 、同一执行价 $K$ 的欧式期权，无套利关系要求：

C(K) - P(K) = DF(0,T) \times [F(0,T) - K]

其中：
- $C(K)$ 和 $P(K)$ 分别为看涨和看跌期权的价格
- $DF(0,T)$ 是 $T$ 时刻到期的贴现因子，例如 $e^{-rT}$
- $F(0,T)$ 是 $T$ 时刻到期的理论远期价格

隐含远期公式

通过平价关系解出该执行价隐含的远期价格：

F_K(0,T) = K + \frac{C(K) - P(K)}{DF(0,T)}

实务处理建议

使用中间价计算以减小买卖价差影响：

C = \frac{C_{\text{bid}} + C_{\text{ask}}}{2}, \quad P = \frac{P_{\text{bid}} + P_{\text{ask}}}{2}

验证信号：检查 $|C - P|$ 是否合理，剔除报价异常的执行价。

二、多执行价合成远期价格：加权平均法

问题背景

不同执行价给出的 $F_K$ 存在微小差异，主要源于：

期权报价的买卖价差
市场微观结构噪声
深度虚值期权流动性不足

加权平均方法

对同一到期日的多个执行价 $K_i$ ：

F(0,T) = \frac{\sum_i w_i F_{K_i}}{\sum_i w_i}

权重设计：基于价差的不确定性

方法一：简单加总价差

s_i = \text{spread}(C_i) + \text{spread}(P_i)

其中 $\text{spread}(X) = X_{\text{ask}} - X_{\text{bid}}$

方法二：保守平方和（推荐）

s_i = \sqrt{ \text{spread}(C_i)^2 + \text{spread}(P_i)^2 }

权重分配：采用逆方差加权

w_i = \frac{1}{s_i^2}

价差越小（流动性越好），权重越大。

执行价筛选准则

流动性优先：只使用平值附近的执行价（通常 Delta 在 0.2-0.8 范围）
异常值剔除：
- bid 价格为 0 或异常低的执行价
- 价差超过指定阈值（如 20% 的中间价）
- 平价关系明显违反无套利的执行价
数据验证：检查加权后的 $F(0,T)$ 对权重选择的敏感性

三、构建隐含股息曲线

理论基础

隐含远期曲线 $F(0,T_j)$ 隐含了市场对未来股息的预期。假设已知：

当前现货价格 $S_0$
各期限贴现因子 $DF(0,T)$

方法 A：累计股息现值曲线（推荐）

离散股息模型关系：

F(0,T) = \frac{S_0 - D^{PV}(T)}{DF(0,T)}

其中 $D^{PV}(T)$ 是在 $T$ 前所有股息的贴现值。

反推公式：

D^{PV}(T) = S_0 - F(0,T) \times DF(0,T)

曲线构建步骤：

对每个到期日 $T_j$ ，计算 $D^{PV}(T_j)$
检查单调性： $D^{PV}(T)$ 应随 $T$ 非减
使用单调插值方法（如分段线性或单调样条）构建完整曲线

优势：直接对应实际股息支付，便于匹配季节性分红。

方法 B：等效连续股息率

连续模型关系：

F(0,T) = S_0 e^{(r - q)T}

其中 $q$ 为连续股息率。

计算公式：

q^{\text{avg}}(0,T) = r^{\text{avg}}(0,T) - \frac{1}{T} \ln\left( \frac{F(0,T)}{S_0} \right)

其中 $r^{\text{avg}}(0,T)$ 为期限 $T$ 的平均连续利率。

应用场景：适用于需要连续股息率的定价模型（如 Black-Scholes）。

四、实务操作要点

数据准备

期权数据：确保使用同步的看涨/看跌报价
利率曲线：构建准确的零息曲线或远期利率曲线
现货价格：使用与期权到期时相同的标的定义

质量控制

流动性过滤：基于成交量、未平仓合约数、买卖价差
套利检查：验证看跌-看涨平价没有显著违反
曲线平滑：对生成的远期和股息曲线进行合理性检查

季节性处理

对于股息曲线：

识别已知的除息日模式
将隐含股息与公司公布的分红计划比较
考虑特别股息与常规股息的差异

误差来源

买卖价差：最大的噪声来源
借贷成本：股票借贷利率未在标准模型中体现
早期行权：美式期权的影响（对高股息股票显著）
税收与交易成本：实际套利存在的摩擦