利率上限/下限（Cap/Floor）波动率曲面

在利率衍生品（Cap/Floor、Floorlet/Caplet）定价和风险管理中，构建一套无套利、平滑且能反映市场 期限结构 与 微笑结构 的波动率曲面（Volatility Surface）至关重要。下面按步骤给出详细流程，并补充“PriceVol”与“YieldVol”概念及其在构建中的应用。

1. 背景与定义

• Cap：一系列按固定期限（如 3M、6M）划分的 Caplet 组成，支付 $\max(L-K,0)$。
• Floor：由 Floorlet 组成，支付 $\max(K-L,0)$。
• 波动率曲面：$\sigma(T,K)$ 是对 Cap/Floor 到期 $T$、执行价 $K$ 的隐含波动率。

国内常用“双曲线”框架：

1. OIS 贴现（FR007 OIS）
2. IBOR 远期（SHIBOR3M Forward）

2. 市场数据获取

1. ATM Cap 报价
   • 各到期年限（1Y,2Y,…）的 ATM 隐含波动率
2. OTM（Straddle/RR）报价（若有）
3. 短端 OIS/IBOR 工具
   • 用于构建贴现与远期曲线
4. OIS×IBOR Basis Swap
   • 若贴现与远期曲线不同，还需基差定价数据

3. 构建贴现曲线与远期曲线

1. OIS贴现曲线
   • 标的：OIS 互换、质押式回购
   • 输出：贴现因子 $D_{\rm OIS}(0,T)$
2. IBOR Forward 曲线
   • 在上述 OIS 曲线上，利用 FRA、IRS、OIS×IBOR 基差互换等，Bootstrap 得到 forward rate $F_{\rm IBOR}(0;T_{i-1},T_i)$。

4. PriceVol vs YieldVol

在 Cap/Floor 波动率市场上，隐含波动率有两种常见度量方式：

1. PriceVol（Normal Vol）

   • 单位：$\%$ 或 10⁻²
   • 假设标的价格（Caplet 期权价）服从正态分布
   • 定价模型：Bachelier（Normal）
   • 波动率参数 $\sigma_N$ 表示价格的绝对波动

2. YieldVol（Lognormal Vol）

   • 单位：年化无量纲
   • 假设标的远期利率 $F$ 服从对数正态分布
   • 定价模型：Black‐76（Lognormal）
   • 波动率参数 $\sigma_L$ 表示利率的相对波动

二者可通过 Black/Bachelier 定价公式互相换算：

$$C_{\rm Bachelier}(F,K,\sigma_N) \;=\; C_{\rm Black}(F,K,\sigma_L) \;\;\Longrightarrow\;\; \sigma_N \leftrightarrow \sigma_L$$

在系统中通常由一个布尔或标记参数（如 PriceVol）决定所用模型：

• PriceVol = True ⇒ 使用 Bachelier 模型剥离/建模
• PriceVol = False ⇒ 使用 Black‐76 模型剥离/建模

5. Cap → Caplet 波动率剥离（Bootstrap）

5.1 分段定价

$$\mathrm{CapPrice}(0,T_N) = \sum_{i=1}^N \Delta_i \;D_{\rm OIS}(0,T_i)\; \mathrm{OptionPrice}\bigl(F_i,K,\sigma_i\bigr)$$

• $\Delta_i$：第 $i$ 期支付年化天数
• $\mathrm{OptionPrice}$：Bachelier 或 Black 公式

5.2 逐期 Bootstrap

对每个到期 $T_i$：

1. 已知之前剥离出的 $\sigma_j$, $j<i$
2. 用市场 Cap ATM 价格求解本期隐含波动：
   • 若 PriceVol=True，解 Bachelier 公式反推 $\sigma_{N,i}$
   • 若 PriceVol=False，解 Black 公式反推 $\sigma_{L,i}$

6. Smile（Strike 维度）建模

1. 单期 SABR 拟合
   • 对到期 $T_i$ 用 ATM + OTM 报价拟合 SABR 参数 $(\alpha,\beta,\rho,\nu)$
   • 通过 Hagan 公式生成任意 $K$ 的 $\sigma(T_i,K)$
2. 跨期限平滑
   • 对 $\alpha(T)$, $\rho(T)$, $\nu(T)$ 做样条或参数化（如 SSVI）插值
3. 无套利校验
   • 保证密度正值：$\partial^2 C/\partial K^2 \ge0$

7. 期限维度插值与展期

1. 对固定 Strike 插值
   • 在 $T$ 轴上用样条／线性插值补全
2. 边界处理
   • 短端：$\sigma(T\to0)$ 可与即期波动对齐
   • 长端：常取平坦或线性外推