附录 A　估值公式

本附录收录正文第 3 章（估值）、第 8 章（可转债与结构化衍生品）、第 9 章（IFRS9）涉及的全部估值公式。正文只讲「这个数字从哪来、为什么重要」，公式集中在此备查。每个公式配业务含义与使用场景，并标注对应的正文章节。

A.1 现值（PV）：一切估值的起点

$$PV = \sum_{t=1}^{n} CF_t \times DF(t) = \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t}{(1+y_t)^{\,t}}$$

其中 $CF_t$ 为第 $t$ 期现金流（票息或本金），$DF(t)$ 为估值曲线在 $t$ 时点的折现因子，$y_t$ 为曲线上对应期限的折现率。

业务含义：回答「一串未来的钱，今天值多少」——把未来的每笔现金流按今天的利率水平折算成今天的钱，加总。

使用场景：计算债券的理论价格；无活跃报价债券的模型估值（中债估值的方法论基础）。现金流一模一样、折现率不同，价格就不同——曲线选择是估值差异的第一来源（见第 3 章 §3.1.1、§3.1.2、§3.4.1）。

A.2 折现因子（DF）

$$DF(t) = \frac{1}{(1+y_t)^{\,t}} = e^{-r_t \cdot t}$$

前一种写法对应离散复利（债券市场惯例），后一种对应连续复利（衍生品与风险模型惯例）。$r_t$ 为连续复利零息利率。

业务含义：折现因子是「1 元未来的钱在今天值多少」的单价，收益率曲线的另一种表达。

使用场景：估值引擎内部一律以折现因子（或零息利率）存储曲线，对外展示时才换算成到期收益率（见第 3 章 §3.1.2）。

A.3 应计利息（AI）

$$AI = c \times w(t) \times N \times \frac{d_{\text{已过}}}{d_{\text{计息周期}}}$$

其中 $c$ 为票面利率，$N$ 为原始面值，$w(t)$ 为剩余本金因子（子弹债恒为 1，分期还本债逐档下降，见附录 E），$d_{\text{已过}}$ 为上一付息日至估值日的天数，$d_{\text{计息周期}}$ 为本计息周期的总天数（日计数惯例如 ACT/ACT、30/360 由估值政策约定）。

业务含义：回答「上一个付息日到今天，卖方替我持有了多久的利息」——两个付息日之间买入债券，结算时要把这段时间累积的利息补给卖方。

使用场景：债券交易结算、净价全价换算、票息的逐日计提（损益口径，见第 5 章 §5.2.1）。分期还本债的应计利息必须乘剩余本金因子：剩余本金 60% 时，应计利息约为同票面子弹债的 60%（见第 3 章 §3.3.1、第 7 章 §7.2.2）。

A.4 净价与全价

$$\text{全价} = \frac{PV}{N} \times 100, \qquad \text{净价} = \text{全价} - \frac{AI}{N} \times 100$$

中国市场惯例按每 100 元面值报价；分期还本债按每 100 元原始面值报价，因此净价随剩余本金同步下降（剩余本金 60% 时净价约 60 元附近，不是暴跌，见第 7 章 §7.2.2）。

业务含义：净价把「时间的钱」（应计利息）从报价里剔出去，剩下的才是「市场的钱」——净价涨才是真的涨；全价是结算时真金白银付出去的数。

使用场景：行情屏报净价，交易系统记全价，估值系统两个都要算。跨系统对账时先对净价全价口径，再对数字（见第 3 章 §3.1.3、§3.4.3）。

A.5 到期收益率（YTM）

给定全价 $P$，到期收益率 $y$ 是以下方程的解：

$$P = \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t}{(1+y)^{\,t}}$$

方程无解析解，用数值方法（牛顿法、二分法）迭代求解。

业务含义：回答「按今天的价格买入、持有到期，年化收益率是多少」——现值公式的逆运算。价格是 YTM 的函数，同一信息两种说法：价格是绝对数，YTM 是可横向比较的相对数。

使用场景：交易员报价格、投资经理看 YTM、风控把 YTM 拆成「无风险利率加利差」。注意 YTM 适合比较与沟通，不适合记账——账上记的是价格（见第 3 章 §3.1.4）。含权债市场惯例同时报「行权收益率」与「到期收益率」两个口径（见第 7 章 §7.4.3）。

A.6 久期：麦考利久期与修正久期

麦考利久期（现金流回收时间的加权平均）：

$$D_{\text{mac}} = \frac{1}{PV} \sum_{t=1}^{n} t \cdot \frac{CF_t}{(1+y)^{\,t}}$$

修正久期（价格对收益率的一阶敏感性）：

$$D_{\text{mod}} = \frac{D_{\text{mac}}}{1+y} = -\frac{1}{PV}\,\frac{\partial PV}{\partial y} \approx -\frac{PV(y+\Delta y) - PV(y-\Delta y)}{2 \cdot PV \cdot \Delta y}$$

业务含义：回答「利率上行 1 个百分点，价格大约跌百分之几」——久期 4 年的债，利率上 1%，价格跌约 4%。

使用场景：利率敞口的通用度量、限额体系的基本单位、Campisi 归因中国债效应的乘数（见第 3 章 §3.1.5、第 5 章 §5.3.1、第 6 章 §6.2.1）。条款处理直接改写久期：一只「7 年期」分期还本债的修正久期约 1.5 年，而同到期日子弹债约 2.4 年；3+2 中票按「行权」与「不行权」两种假设，久期差约 1.7 年（见第 7 章 §7.2.3、§7.4.3）。

A.7 凸性（Convexity）

$$C = \frac{1}{PV}\,\frac{\partial^2 PV}{\partial y^2} \approx \frac{PV(y+\Delta y) + PV(y-\Delta y) - 2 \cdot PV(y)}{PV \cdot (\Delta y)^2}$$

含凸性修正的价格变动近似：

$$\frac{\Delta PV}{PV} \approx -D_{\text{mod}} \cdot \Delta y + \frac{1}{2} C \cdot (\Delta y)^2$$

业务含义：久期是线性近似，凸性是二阶修正——利率大幅变动时，实际价格变动比线性估算的多一点（涨时涨更多、跌时跌更少）。

使用场景：平时凸性项是零头（利率动 3 个基点时贡献可忽略），剧震时是保命钱（单日十几基点的行情里不可忽略）；Campisi 归因中的凸性效应即 $\frac{1}{2}C(\Delta y)^2$ 项（见第 5 章 §5.3.3、第 6 章 §6.2.4）。

A.8 DV01（基点价值）

$$DV01 = D_{\text{mod}} \times PV \times 0.0001 \approx PV(r) - PV(r + 1\text{bp})$$

业务含义：把久期从百分比翻译成钱——利率动 1 个基点，持仓市值动多少。5 亿市值、久期 4 年的持仓，DV01 约 20 万。

使用场景：对账差异的换算器（2 分钱差异 ≈ 半个基点曲线差异）、对冲手数计算、风险限额单位。DV01 的完整讨论与分期限拆法（KRD）见附录 D（见第 3 章 §3.1.5、§3.4.1，第 6 章 §6.2.1）。

A.9 实际利率（EIR）的求解

买入 AC 类债券时，实际利率 $EIR$ 是以下方程的解：

$$P_{\text{买入}} + \text{交易费用} = \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t}{(1+EIR)^{\,t}}$$

业务含义：回答「按这个价格买入、持有到期，这笔投资锁定的年化回报率是多少」——数值上等于买入时点的 YTM，但此后终身不变（除非合同重议）。EIR 是买入那天的 YTM 留下的化石；EIR 与当前 YTM 的差，是「买入时点」与「当前时点」的距离，不是计算错误。

使用场景：IFRS9 摊余成本法的利息收入计算；审计询证时 EIR 的求解过程（买入价、交易费用、现金流日程）必须可追溯（见第 9 章 §9.4.1、§9.4.3）。

A.10 摊余成本滚动（实际利率法）

每期确认利息收入：

$$\text{利息收入}_t = \text{AmCost}_{t-1} \times EIR \times \Delta t$$

摊余成本更新：

$$\text{AmCost}_t = \text{AmCost}_{t-1} + \text{利息收入}_t - \text{当期收到票息} - \text{当期偿还本金}$$

业务含义：回答「不看市场，账面价值今天该是多少」——账面沿一条平滑曲线从买入价爬向面值，折价买入的债，折价收益按 EIR 分摊到每一期，而不是到期一次性确认。

使用场景：AC 账户的账面价值与利息收入确认。示例：面值 100 元、票息 3%、剩余 4 年、98 元买入，EIR = 3.55%，账面沿 98.00 → 98.47 → 98.97 → 99.47 → 100.00 爬坡，各年利息收入 3.47 / 3.49 / 3.51 / 3.53 元，折价摊销合计恰为 2.00 元（见第 9 章 §9.4.2）。

口径纪律：EIR 利息收入只进会计报表，不进经济绩效——经济口径的 Carry（票息加收敛）已包含「价格向面值收敛」的贡献，混用会把折价收敛算两次（见第 9 章 §9.4.4）。

A.11 替代摊销方法

直线法：

$$\text{每期摊销额} = \frac{\text{折溢价总额}}{\text{剩余计息期数}}, \qquad \text{AmCost}_t = \text{AmCost}_{t-1} \pm \text{每期摊销额}$$

业务含义：把折溢价均匀分摊到每一期，不追求每期收益率恒定。与实际利率法的差异在摊销节奏上：EIR 法前期摊销慢、后期快（指数爬坡），直线法匀速。

使用场景：准则允许范围内的简化处理、系统上线初期的过渡方案；选择哪种方法属于估值政策，须文档化并保持一致（见第 9 章 §9.4.3）。

A.12 可转债：二叉树节点定价

可转债在每个二叉树节点上的价值，是「继续持有、转股、被赎回、回售」四种可能性的最优选择：

$$V_{\text{cont}} = e^{-r \Delta t}\left[p \cdot V_{u} + (1-p) \cdot V_{d}\right]$$

$$V_{\text{node}} = \min\Big(\max\big(V_{\text{cont}},\ V_{\text{转股}}\big),\ \max\big(V_{\text{转股}},\ P_{\text{赎回}}\big)\Big)$$

其中 $p$ 为风险中性上行概率，$V_{\text{转股}} = $ 转换比率 × 正股节点价格，$P_{\text{赎回}}$ 为强赎价格（面值加应计利息）。回售期内节点价值再与回售价格取大：$V = \max(V_{\text{node}},\ P_{\text{回售}})$。

业务含义：回答「条款值多少钱」——强赎条款在每个节点上把价值压向「转股价值与赎回价孰低」，这就是强赎公告后时间价值一夜蒸发的机制；模型里有没有这个条款、参数对不对，决定估值是平滑过渡还是断崖跳变。

使用场景：可转债理论价计算、条款价值分解（同一正股，有无强赎条款理论价差可超 10%）、OAS 反推（见第 3 章 §3.3.3、第 8 章 §8.2.1、§8.2.5）。

A.13 结构化产品：蒙特卡洛路径定价

雪球、凤凰、鲨鱼鳍等路径依赖产品没有闭式解，估值是对全部可能未来的加权平均：

$$V = DF(T) \times \frac{1}{M} \sum_{m=1}^{M} \text{Payoff}\big(\text{路径}_m,\ \text{状态}_m\big)$$

每条路径按合同逐字执行观察规则（日频敲入看每个交易日收盘、月度敲出只看观察日、锁定期内敲出观察关闭但敲入照常），并携带不可撤销的状态位（IsKnockedIn 等）走到到期。

业务含义：回答「这份合同值多少」——把未来切成无数条路径，每条路径按合同规则算一个支付，按发生概率加权平均、折现到今天。路径的概率权重来自波动率：用历史波动率和用隐含波动率曲面（左翼），同一份合同的年化票息估值能差出两三个点。

使用场景：雪球、凤凰、鲨鱼鳍等结构化衍生品的估值与风险计量（全重估 VaR 即对每个历史情景重跑此模拟）；估值差异的本质是对「未来波动」的判断差异（见第 3 章 §3.3.4、第 8 章 §8.3.2、§8.3.5、§8.5.3）。

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附：本附录公式与正文章节对照

公式	正文章节
A.1–A.2 现值与折现因子	第 3 章 §3.1.1、§3.1.2
A.3 应计利息	第 3 章 §3.1.3、§3.3.1；第 7 章 §7.2.2
A.4 净价与全价	第 3 章 §3.1.3、§3.4.3
A.5 到期收益率	第 3 章 §3.1.4；第 7 章 §7.4.3
A.6 久期	第 3 章 §3.1.5；第 7 章 §7.2.3、§7.4.3
A.7 凸性	第 5 章 §5.3.3；第 6 章 §6.2.4
A.8 DV01	第 3 章 §3.1.5；第 6 章 §6.2.1
A.9–A.11 EIR 与摊余成本	第 3 章 §3.2.3；第 9 章 §9.4
A.12 二叉树节点定价	第 3 章 §3.3.3；第 8 章 §8.2
A.13 蒙特卡洛路径定价	第 3 章 §3.3.4；第 8 章 §8.3

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