波动率曲面构造模型

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背景：波动率微笑与波动率曲面

在外汇期权市场中，隐含波动率并非对所有行权价格（Strike）一致，而是呈现一定的形状，通常称为波动率微笑（Volatility Smile）。为了构造完整的波动率曲面，需要对波动率微笑进行插值或拟合，以确保在不同行权价格和到期时间下的波动率分布是光滑且一致的。

以下是关于 Linear、Cubic Spline、SVI、SABR 和 Vanna-Volga 模型的完整解释和公式。这些模型用于外汇期权市场中拟合隐含波动率微笑（Volatility Smile），从而构造波动率曲面（Volatility Surface）。

1. LINEAR (线性插值)

公式：

线性插值是一种最简单的插值方法，根据两个已知的点之间进行线性连接：

IV(K) = IV(K_{\text{low}}) + \frac{IV(K_{\text{high}}) - IV(K_{\text{low}})}{K_{\text{high}} - K_{\text{low}}} \cdot (K - K_{\text{low}})

变量说明：
- $IV(K)$ ：行权价格 $K$ 对应的隐含波动率。
- $K_{\text{low}}, K_{\text{high}}$ ：与 $K$ 最近的两个已知行权价格。
- $IV(K_{\text{low}}), IV(K_{\text{high}})$ ：对应的隐含波动率。

特点：

简单快速： 直接在数据点之间进行线性插值，计算效率高。
缺乏光滑性： 曲线在节点处可能存在“断点”，微笑形状不够平滑。

应用场景：

适合对精度要求不高的场景。
用于快速生成波动率曲面或数据稀疏的场景。

2. CUBIC SPLINE (三次样条插值)

公式：

三次样条插值在每两个已知点之间拟合一个三次多项式函数，确保插值结果在整个曲面上光滑且连续。公式如下：

在每个分段区间 ([K_i, K_{i+1}]) 上：

IV(K) = a_i + b_i \cdot (K - K_i) + c_i \cdot (K - K_i)^2 + d_i \cdot (K - K_i)^3

变量说明：
- $a_i, b_i, c_i, d_i$ ：每个分段区间的三次多项式系数，通过边界条件和连续性约束解出。
- $K_i, K_{i+1}$ ：相邻的已知行权价格。

边界条件：

插值函数在每个区间内连续： $IV(K_i) = IV_{\text{data}}(K_i)$
插值函数的一阶导数和二阶导数在节点处连续。

特点：

光滑性： 曲线光滑连续，无断点。
不适合外推： 插值结果仅在已知数据范围有效，外推性能较差。

应用场景：

使用数据点较多且分布均匀的场景。
适合对波动率微笑有较高光滑性要求的场景。

3. SVI (Stochastic Volatility Inspired)

公式：

SVI 模型由 Jim Gatheral 提出，通过总方差建模隐含波动率微笑：

w(k) = a + b \cdot \left( \rho \cdot (k - m) + \sqrt{(k - m)^2 + \sigma^2} \right)

变量说明：
- $w(k)$ ：总方差，定义为 $w(k) = \sigma^2 \cdot T$ ，其中 $\sigma$ 是隐含波动率， $T$ 是到期时间。
- $k$ ：对数 moneyness，定义为 $k = \ln(K / F)$ ，其中 $K$ 是行权价格， $F$ 是远期汇率。
- $a$ ：最小总方差，控制总方差的基准水平。
- $b$ ：控制总方差的倾斜程度。
- $\rho$ ：控制微笑的对称性（(\rho \in [-1, 1])，通常为负值）。
- $m$ ：对数 moneyness 的中心位置。
- $\sigma$ ：控制微笑的宽度。

隐含波动率：

通过总方差计算隐含波动率：

IV(K) = \sqrt{\frac{w(k)}{T}}

特点：

灵活性高： 能捕捉复杂的微笑形状，包括偏斜和峰度。
参数意义明确： 每个参数都有清晰的金融解释。

应用场景：

高精度拟合外汇或股票市场中的波动率微笑。

4. SABR (Stochastic Alpha Beta Rho)

公式：

SABR 模型的隐含波动率近似公式为：

IV(K) = \frac{\alpha}{K^\beta} \cdot \left[ 1 + \frac{(1 - \beta)^2}{24} \cdot \left(\frac{\alpha}{K^{1 - \beta}}\right)^2 + \frac{\rho \cdot \nu \cdot \beta \cdot \alpha}{4 \cdot K^{1 - \beta}} + \frac{(2 - 3 \cdot \rho^2) \cdot \nu^2}{24} \right]

变量说明：
- $IV(K)$ ：行权价格 $K$ 对应的隐含波动率。
- $\alpha$ ：初始波动率，控制波动率水平。
- $\beta$ ：控制波动率对标的价格的敏感性，取值范围为 $[0, 1]$ 。
- $\rho$ ：标的资产价格与波动率之间的相关性。
- $\nu$ ：波动率的波动率（vol-of-vol）。
- $K$ ：行权价格。
- $F$ ：远期价格。
- $T$ ：到期时间。

特点：

灵活性： 能捕捉偏斜和曲率，适合复杂的波动率微笑。
应用场景： 外汇期权、利率期权市场。

5. Vanna-Volga

公式：

Vanna-Volga 方法通过 ATM 波动率、风险逆转和蝶式价差的线性组合拟合波动率微笑：

IV(K) = IV_{ATM} + w_1 \cdot RR + w_2 \cdot BF

变量说明：
- $IV(K)$ ：行权价格 $K$ 对应的隐含波动率。
- $IV_{ATM}$ ：ATM 波动率。
- $RR$ ：风险逆转，定义为： $RR = IV(K_{25C}) - IV(K_{25P})$
- $BF$ ：蝶式价差，定义为： $BF = \frac{IV(K_{25C}) + IV(K_{25P})}{2} - IV_{ATM}$

权重计算：

权重 $w_1$ 和 $w_2$ 由 Vanna 和 Volga 的敏感性决定：

w_1 = \frac{\text{Vanna}(K)}{\text{Vanna}(K) + \text{Volga}(K)}

w_2 = \frac{\text{Volga}(K)}{\text{Vanna}(K) + \text{Volga}(K)}

Vanna 和 Volga 是隐含波动率对市场波动率参数的敏感性：

\text{Vanna} = \frac{\partial^2 (\text{Option Price})}{\partial (\text{Underlying}) \partial (\text{Volatility})}

\text{Volga} = \frac{\partial^2 (\text{Option Price})}{\partial (\text{Volatility})^2}

特点：

快速高效： 计算简单，适合实时定价。
局限性： 无法捕捉复杂微笑形状。

总结与对比

模型	公式	优点	缺点	应用场景
Linear	$IV(K) = IV(K_{\text{low}}) + \frac{IV(K_{\text{high}}) - IV(K_{\text{low}})}{K_{\text{high}} - K_{\text{low}}} \cdot (K - K_{\text{low}})$	简单快速，计算高效。	曲线不光滑，无法捕捉复杂形状。	数据稀疏或低精度要求场景。
Cubic Spline	$IV(K) = a_i + b_i \cdot (K - K_i) + c_i \cdot (K - K_i)^2 + d_i \cdot (K - K_i)^3$	光滑连续，适合高精度场景。	外推性能差，对数据点稀疏不稳定。	数据点多且分布均匀时的波动率曲面构建。
SVI	$w(k) = a + b \cdot (\rho (k - m) + \sqrt{(k - m)^2 + \sigma^2})$	灵活性高，适合拟合复杂微笑形状。	参数多，拟合过程复杂。	高精度拟合外汇或股票市场微笑形状。
SABR	$IV(K) = \frac{\alpha}{K^\beta} \cdot \left[ 1 + \text{修正项} \right]$	能捕捉偏斜和曲率，适合复杂微笑。	计算复杂，速度较慢。	外汇期权、利率期权微笑建模。
Vanna-Volga	$IV(K) = IV_{ATM} + w_1 \cdot RR + w_2 \cdot BF$	简单高效，参数有明确市场意义。	无法捕捉复杂微笑形状，拟合精度较低。	外汇市场中快速生成波动率曲面。

通过结合具体需求（如计算速度、拟合精度和数据特性），可以选择最适合的模型来构造波动率曲面。