Vanna-Volga 定价方法详解

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1. 引言

Vanna-Volga 方法是一种广泛应用于外汇市场的定价工具。通过调整Black-Scholes价格并引入复制组合的对冲成本，VV方法能够捕捉奇异期权在波动率偏斜和曲率变化下的价值影响，从而实现更准确的定价。

在外汇衍生品市场中，Vanna-Volga（VV）定价方法是修正Black-Scholes模型、解决波动率微笑问题的核心工具，尤其适用于障碍期权、触碰期权等第一代奇异期权。其核心思想是通过交易三种标准期权（ATM、风险逆转RR、蝶式BF）对冲波动率风险，并将对冲成本叠加到BS价格上。

而**无触碰概率（No-Touch Probability）**是障碍期权定价的关键输入，直接影响调整因子$p$的选择。本文将系统梳理：

1. VV方法的计算逻辑（矩阵权重法 vs. 显式成本法）
2. 无触碰概率的解析解与数值方法
3. 两者在障碍期权定价中的协同应用

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2. Vanna-Volga定价方法

2.1 核心公式

奇异期权的VV价格为：

$$X^{\text{VV}} = X^{\text{BS}} + \underbrace{w_{\text{ATM}} \Delta \text{ATM} + w_{\text{RR}} \Delta \text{RR} + w_{\text{BF}} \Delta \text{BF}}_{\text{对冲波动率微笑的成本}}$$

其中：

• $\Delta \text{ATM} = \text{ATM}^{\text{MKT}} - \text{ATM}^{\text{BS}}$（其他同理）
• 权重$w_i$通过以下线性方程组求解：

  $$\begin{pmatrix} \text{ATM}_{\text{vega}} & \text{RR}_{\text{vega}} & \text{BF}_{\text{vega}} \\ \text{ATM}_{\text{vanna}} & \text{RR}_{\text{vanna}} & \text{BF}_{\text{vanna}} \\ \text{ATM}_{\text{volga}} & \text{RR}_{\text{volga}} & \text{BF}_{\text{volga}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} w_{\text{ATM}} \\ w_{\text{RR}} \\ w_{\text{BF}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X_{\text{vega}} \\ X_{\text{vanna}} \\ X_{\text{volga}} \end{pmatrix}$$

2.2 显式成本分解（Vanna Cost + Volga Cost）

对于障碍期权，常将调整项分解为Vanna和Volga成本，并引入调整因子$p$：

$$X^{\text{VV}} = X^{\text{BS}} + p \cdot \left( \text{Vanna Cost} + \text{Volga Cost} \right)$$

计算逻辑：

• Vanna Cost：补偿波动率偏斜（RR结构）

  $$\text{Vanna Cost} \approx \frac{X_{\text{vanna}}}{\text{RR}_{\text{vanna}}} \cdot \left( \text{RR}^{\text{MKT}} - \text{RR}^{\text{BS}} \right)$$

• Volga Cost：补偿波动率曲率（BF结构）

  $$\text{Volga Cost} \approx \frac{X_{\text{volga}}}{\text{BF}_{\text{volga}}} \cdot \left( \text{BF}^{\text{MKT}} - \text{BF}^{\text{BS}} \right)$$

📌 两种方法的等价性：

• 矩阵权重法通用性更强，适合复杂期权；
• 显式成本法直观，适合障碍期权（需调整因子$p$）。

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3. 无触碰概率计算

3.1 Black-Scholes解析解

假设标的资产服从几何布朗运动，无触碰概率为：

$$P_{\text{No-Touch}} = N\left(\frac{\ln(S_0/B) + \mu T}{\sigma \sqrt{T}}\right) - \left(\frac{B}{S_0}\right)^{2\mu/\sigma^2} N\left(\frac{\ln(B/S_0) + \mu T}{\sigma \sqrt{T}}\right)$$

参数说明：

• $\mu = r - q - \frac{1}{2}\sigma^2$（漂移项）
• $B$：障碍水平，$S_0$：标的当前价格

示例（EUR/USD=1.10，障碍=1.15，$T=1$年，$\sigma=10\%$）：

$$\mu = 0.01 - 0 - 0.5 \times 0.1^2 = -0.004 \\ P_{\text{No-Touch}} \approx 75\%$$

3.2 蒙特卡罗模拟

当解析解不可得时（如离散监控障碍）：

import numpy as np

def no_touch_prob(S0, B, r, q, sigma, T, n_sim=100000):
    mu = r - q - 0.5 * sigma**2
    paths = S0 * np.exp(np.cumsum(
        mu * (T/252) + sigma * np.sqrt(T/252) * np.random.randn(252, n_sim),
        axis=0
    ))
    return np.mean(np.max(paths, axis=0) < B)

print(no_touch_prob(1.10, 1.15, 0.01, 0, 0.1, 1))  # 输出≈0.74

3.3 市场实践修正

• 障碍偏移（Barrier Shifting）：
  调整障碍水平$B \rightarrow B \cdot e^{\pm \beta \sigma \sqrt{T}}$（$\beta \approx 0.5826$），补偿离散监控误差。
• 从市场报价反推：
  若单触碰期权（OT）价格=2%，赔付=1，则无触碰概率$P_{\text{No-Touch}} = 1 - 2\% / 1 = 98\%$。

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4. VV与无触碰概率的协同应用

4.1 调整因子$p$的选择

产品类型	调整因子$p$	理论依据
KO/RKO	无触碰概率	反映障碍未被触发的可能性
DNT	0.5（经验值）	双障碍的对称性
OT/NT	1（全成本调整）	触碰事件直接影响赔付

4.2 完整定价流程（以DKO为例）

1. 计算无触碰概率：
   • 解析解或蒙特卡罗得到$P_{\text{No-Touch}} = 70\%$。
2. 求解VV调整项：
   • 矩阵法：计算权重$w_i$，得总调整成本=0.8%。
   • 显式法：Vanna Cost=0.5%，Volga Cost=0.3%，总和=0.8%。
3. 应用调整因子：
   • 最终价格$X^{\text{VV}} = X^{\text{BS}} + 70\% \times 0.8\%$。

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5. 总结

• VV方法通过ATM、RR、BF期权对冲波动率微笑风险，其矩阵权重法与显式成本法本质等价。
• 无触碰概率是障碍期权定价的核心，需结合模型假设（解析解/数值法）和市场实践（障碍偏移）计算。
• **调整因子$p$**将两者关联，反映障碍触发概率对对冲成本的衰减作用。

代码实现参考：

# VV权重求解示例
A = np.array([[0.25, 0.10, 0.05], [ -0.02, -0.12, 0.03], [0.01, 0.04, 0.08]])  # Vega/Vanna/Volga矩阵
X = np.array([0.20, -0.05, 0.06])  # 目标期权的希腊值
w = np.linalg.solve(A, X)  # 求解权重

参考文献：

1. Wystup (2006), FX Options and Structured Products
2. Castagna & Mercurio (2007), Volatility in the Foreign Exchange Market
3. Lipton (2002), Mathematical Methods for Foreign Exchange