Dupire模型的校准过程

访问猛犸期权定价系统，支持外汇期权和结构化产品定价估值！

Dupire模型的校准过程是将市场上的隐含波动率曲面与局部波动率模型联系起来，通过市场期权价格反推出标的资产价格和时间的局部波动率函数 $\sigma(t, S)$ 。以下是详细的校准步骤，包括从市场数据准备、偏导数计算到数值实现的过程。

访问猛犸期权定价系统，支持外汇期权和结构化产品定价估值！

1. 校准的目标

校准 Dupire 模型的目标是从市场隐含波动率数据中反推出局部波动率函数 $\sigma(K, T)$ ，使得由局部波动率模型计算出的期权价格与市场价格一致。

具体来说，我们希望满足以下条件：

所有理论期权价格 $C_{\text{model}}(K, T)$ 与市场期权价格 $C_{\text{market}}(K, T)$ 的误差最小。
通过理论价格公式： $C_{\text{model}}(K, T) = \mathbb{E}\left[ e^{-r^d T} \cdot \max(S(T) - K, 0) \right]$ 其中 $S(T)$ 的动态由局部波动率模型驱动： $\frac{dS(t)}{S(t)} = \left( r^d(t) - r^f(t) \right) dt + \sigma(t, S(t)) dW(t)$

通过校准，我们需要找到一个局部波动率函数 $\sigma(K, T)$ ，使其与市场隐含波动率曲面一致。

2. 校准的输入

校准 Dupire 模型需要以下市场数据作为输入：

市场隐含波动率曲面 $\sigma_{\text{imp}}(K, T)$
- 市场上的隐含波动率数据，通常通过欧式期权价格反推出隐含波动率。隐含波动率是行权价格 $K$ 和到期时间 $T$ 的函数。
无风险利率曲线 $r^d(t), r^f(t)$
- 本币 $r^d(t)$ 和外币 $r^f(t)$ 的无风险利率曲线，可通过市场利率衍生品（如远期利率协议、掉期等）提取。
欧式期权价格曲面 $C_{\text{market}}(K, T)$
- 市场上不同行权价格 $K$ 和到期时间 $T$ 的欧式期权价格。

3. Dupire 方程

Dupire 方程是校准过程的核心，它将欧式期权价格的偏导数与局部波动率函数 $\sigma(K, T)$ 关联起来：

\sigma^{2}(K, T) = \frac{\frac{\partial C(K, T)}{\partial T} + \left( r^d(T) - r^f(T) \right) \frac{\partial C(K, T)}{\partial K} + r^f(T) \cdot C(K, T)}{\frac{1}{2} K^2 \cdot \frac{\partial^2 C(K, T)}{\partial K^2}}

$C(K, T)$ ：欧式期权价格。
$\frac{\partial C(K, T)}{\partial T}$ ：期权价格对到期时间的偏导数。
$\frac{\partial C(K, T)}{\partial K}$ ：期权价格对行权价格的偏导数。
$\frac{\partial^2 C(K, T)}{\partial K^2}$ ：期权价格对行权价格的二阶偏导数。

公式拆解：

分子解释：
- $\frac{\partial C(K, T)}{\partial T}$ ：期权的时间衰减（Theta）。
- $(r^d(T) - r^f(T)) \frac{\partial C(K, T)}{\partial K}$ ：期限结构对期权价格的影响。
- $r^f(T) \cdot C(K, T)$ ：外币贴现因子的影响。
分母解释：
- $\frac{\partial^2 C(K, T)}{\partial K^2}$ ：期权价格曲面对行权价格的二阶敏感性（Gamma），在期权价格中起到调整波动率曲面的作用。

4. 校准过程

校准过程分为以下几个步骤：

步骤 1：从市场数据提取隐含波动率曲面

隐含波动率反推：
- 通过 Black-Scholes 公式，从市场期权价格 $C_{\text{market}}(K, T)$ 提取隐含波动率 $\sigma_{\text{imp}}(K, T)$ ： $C_{\text{market}}(K, T) = Black-Scholes(K, T, \sigma_{\text{imp}})$
- 隐含波动率曲面 $\sigma_{\text{imp}}(K, T)$ 是校准的初始输入。
光滑隐含波动率曲面：
- 使用插值方法（如线性插值、三次样条插值或 SVI 模型）对隐含波动率数据点进行光滑处理，确保曲面在 $K$ 和 $T$ 方向上的连续性。

步骤 2：计算 Dupire 方程中的偏导数

计算期权价格的偏导数：
- 根据市场隐含波动率 $\sigma_{\text{imp}}(K, T)$ ，利用 Black-Scholes 公式计算期权价格 $C(K, T)$ 。
- 使用数值方法计算偏导数：
  - 时间偏导数 $\frac{\partial C(K, T)}{\partial T}$ ：可以通过有限差分法计算： $\frac{\partial C(K, T)}{\partial T} \approx \frac{C(K, T+\Delta T) - C(K, T)}{\Delta T}$
  - 行权价格的一阶偏导数 $\frac{\partial C(K, T)}{\partial K}$ 和二阶偏导数 $\frac{\partial^2 C(K, T)}{\partial K^2}$ ： $\frac{\partial C(K, T)}{\partial K} \approx \frac{C(K+\Delta K, T) - C(K, T)}{\Delta K}$ $\frac{\partial^2 C(K, T)}{\partial K^2} \approx \frac{C(K+\Delta K, T) - 2C(K, T) + C(K-\Delta K, T)}{\Delta K^2}$
数值优化：
- 偏导数计算可能存在误差，需要通过插值或正则化方法对结果进行平滑。

步骤 3：反推出局部波动率

根据 Dupire 方程，将计算得到的偏导数代入：

\sigma^{2}(K, T) = \frac{\frac{\partial C(K, T)}{\partial T} + \left( r^d(T) - r^f(T) \right) \frac{\partial C(K, T)}{\partial K} + r^f(T) \cdot C(K, T)}{\frac{1}{2} K^2 \cdot \frac{\partial^2 C(K, T)}{\partial K^2}}

注意事项：
- $\frac{\partial^2 C(K, T)}{\partial K^2}$ 是分母，必须确保其计算值大于零（否则局部波动率无穷大或不稳定）。
- 在极端情况（如深度实值或虚值期权）下，可能需要额外的正则化处理。

步骤 4：验证校准结果

数值验证：
- 使用校准得到的局部波动率 $\sigma(K, T)$ ，通过蒙特卡罗模拟或有限差分方法重新计算期权价格 $C_{\text{model}}(K, T)$ ，并与市场价格 $C_{\text{market}}(K, T)$ 比较。
- 如果误差过大，则需要调整数据处理方法或正则化步骤。
误差度量：
- 使用均方误差（MSE）或相对误差评估模型与市场价格的拟合程度： $\text{误差} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \left( \frac{C_{\text{model}, i} - C_{\text{market}, i}}{C_{\text{market}, i}} \right)^2$

5. 校准中的挑战

数据噪声：
- 市场隐含波动率曲面可能包含噪声，尤其是在深度实值或虚值期权处，这会影响局部波动率的稳定性。
偏导数计算的数值误差：
- 数值微分方法对数据点的分布和间隔敏感，可能导致计算不稳定。
边界问题：
- 在极端行权价格（如深度实值或虚值）处，期权价格的二阶偏导数可能接近零，导致局部波动率无穷大。
模型外推：
- Dupire 模型假设连续路径，无法捕捉市场中的跳跃行为。

总结

Dupire 模型的校准过程是一种将市场隐含波动率数据映射为局部波动率函数的逆问题。核心步骤包括从市场提取隐含波动率曲面、数值计算期权价格偏导数以及通过 Dupire 方程反推出局部波动率。尽管 Dupire 模型具有精确匹配市场价格的优势，但其校准过程对数据质量和数值计算的稳定性要求较高。在实际应用中，通常需要结合插值、正则化和数值优化技术来确保校准结果的稳定性和准确性。