数字期权

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二元期权，又被称为数字期权，是在场外市场中用于对冲和投机的流行工具。对于金融工程师来说，它们也是构建更复杂衍生产品的基础模块之一。

这里先介绍CFETS对数字期权的定价方式，在前面文中提到，CFETS数字期权本质上是Cash-or-Nothing Options

Cash-or-Nothing Options

现金或无其它期权在到期时支付金额 $K$，如果该期权处于盈利状态。看涨期权的回报在 $S \leq X$ 时为零，而在 $S > X$ 时为 $K$。看跌期权的回报在 $S \geq X$ 时为零，而在 $S < X$ 时为 $K$。对现金或无其它期权的估值可以使用 Reiner 和 Rubinstein (1991b) 描述的公式进行：

$$c=Ke^{-rT}N(d)$$

$$p=Ke^{-r^T}N(-d)$$

可以看出，这不过是Black-Scholes公式的最后部分，其中

例子：九个月到期的现金或无其它看跌期权的价值是多少？期货价格为100，行权价格为80，现金支付为10，无风险利率为每年6%，波动率为每年35%。
$S=100,X=80,K=10,T=0.75,r=0.06$，$b=0$，$\sigma=0.35$。

$$d=\frac{\ln(100/80)+(0-0.35^2/2)0.75}{0.35\sqrt{0.75}}=0.5846$$

$$N(-d)=N(-0.5846)=0.2794$$

$$p=10e^{-0.06\times0.75}N(-d)=2.6710$$

Python实现例子

import numpy as np
from scipy.stats import norm

def cash_or_nothing_option_value(S, X, K, T, r, sigma, option_type='call'):
    d = (np.log(S / X) + (r - 0.5 * sigma**2) * T) / (sigma * np.sqrt(T))

    if option_type == 'call':
        option_value = K * np.exp(-r * T) * norm.cdf(d)
    elif option_type == 'put':
        option_value = K * np.exp(-r * T) * norm.cdf(-d)
    else:
        raise ValueError("Invalid option type. Use 'call' or 'put'.")

    return option_value

# 示例参数
S = 100
X = 80
K = 10
T = 0.75
r = 0.06
sigma = 0.35

# 计算现金或无其它看跌期权的价值
put_option_value = cash_or_nothing_option_value(S, X, K, T, r, sigma, option_type='put')

print(f"The value of the cash-or-nothing put option is: {put_option_value:.4f}")