Quanto修正

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Quanto修正

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1. Quanto修正的基本概念

Quanto修正是一种在资产定价中用于调整收益货币与资产自然货币之间差异的方法，确保无套利条件的成立。其核心在于调整标的资产的漂移项和动态，以反映标的资产自然货币和支付货币之间的关系。

1.1 情景描述

在外汇模型 $F_x(\text{CCY1}/\text{CCY2})$ 下，假设用户希望将期权收益以另一种货币表示，则需要 Quanto 修正。典型情景包括：

自然货币为欧元（EUR），但支付货币为日元（JPY）。
自然货币为美元（USD），但支付货币为人民币（CNY）。

在这种情况下，标的资产的动态需要在自然货币和支付货币之间进行转换，这一转换受到以下因素的影响：

汇率波动；
标的资产与汇率之间的相关性；
不同货币的无风险利率差异。

2. Quanto修正的动态推导

2.1 汇率的动态

设正向汇率 $F_x(\text{CCY1}/\text{CCY2})$ 在本币（ $\text{CCY2}$ ）框架下的动态为：

\frac{dF_x(\text{CCY1}/\text{CCY2})}{F_x(\text{CCY1}/\text{CCY2})} = (r_{\text{dom}} - r_{\text{for}})dt + \sigma(t, F_x)dW_{\text{dom}}(t),

其中：

$r_{\text{dom}}$ ：本币的无风险利率；
$r_{\text{for}}$ ：外币的无风险利率；
$\sigma(t, F_x)$ ：隐含波动率；
$W_{\text{dom}}(t)$ ：本币框架下的布朗运动。

反向汇率 $F_x(\text{CCY2}/\text{CCY1})$ 的动态为：

\frac{dF_x(\text{CCY2}/\text{CCY1})}{F_x(\text{CCY2}/\text{CCY1})} = (r_{\text{for}} - r_{\text{dom}})dt + \sigma(t, F_x)dW_{\text{for}}(t).

2.2 相关性翻转

资产 $S$ 与正向汇率 $F_x(\text{CCY1}/\text{CCY2})$ 的相关性，与其与反向汇率 $F_x(\text{CCY2}/\text{CCY1})$ 的相关性满足以下关系：

\rho(F_x(\text{CCY1}/\text{CCY2}), S) = -\rho(F_x(\text{CCY2}/\text{CCY1}), S).

2.3 资产和汇率的动态

假设标的资产 $S_t$ 在外币框架下的动态为：

\frac{dS_t}{S_t} = (r_{\text{for}} - q(t))dt + \sigma_S dW_{\text{for}}(t),

其中：

$q(t)$ ：股息或便利收益率；
$\sigma_S$ ：标的资产的波动率；
$W_{\text{for}}(t)$ ：外币框架下的布朗运动。

同时，汇率 $F_x(t)$ 的动态为：

\frac{dF_x(t)}{F_x(t)} = (r_{\text{dom}} - r_{\text{for}})dt + \sigma_{\text{FX}} dW_{\text{dom}}(t),

其中 $\sigma_{\text{FX}}$ 为汇率的波动率。

在这种情况下，通过结合标的资产和汇率的动态，Quanto 修正可用于调整资产的漂移项，确保收益在支付货币框架下的无套利定价。

3. Quanto修正的计算方法

3.1 Black-Scholes框架下的Quanto修正

在 Black-Scholes 框架下，标的资产的漂移项需要调整为：

\mu = r_{\text{for}} - q - \rho \sigma_S \sigma_{\text{FX}},

其中：

$\rho$ 为标的资产与汇率之间的相关性；
$\sigma_S$ 为标的资产的波动率；
$\sigma_{\text{FX}}$ 为汇率的波动率。

💡 修正前的漂移公式：

\mu = r_{\text{for}} - q.

修正前的漂移项仅考虑外币的无风险利率 $r_{\text{for}}$ 和股息收益率 $q$ ，未考虑标的资产与支付货币汇率之间的相关性 $\rho$ 及波动率的交互项 $\rho \sigma_S \sigma_{\text{FX}}$ 。

3.2 对数正态假设下的Quanto修正

在对数正态分布假设下，Quanto 修正可以表示为一个乘法修正因子：

\text{Quanto 修正因子} = \exp(-\rho \sigma_S \sigma_{\text{FX}} T),

其中 $T$ 为到期时间。

💡 修正前的公式：

\text{修正因子} = 1.

无 Quanto 修正时，默认跨货币之间不存在相关性，修正因子为 1。

3.3 本地波动率模型中的Quanto修正

对于波动率随时间或资产价格变化的情况，可以使用本地波动率模型，标的资产的动态为：

\frac{dS_t}{S_t} = \left(r_{\text{for}} - q - \rho \sigma_S(t, S_t) \sigma_{\text{FX}}(t) \right) dt + \sigma_S(t, S_t) dW_{\text{for}}(t).

本地波动率模型适用于波动率曲面复杂的场景。

💡 修正前的公式：

\frac{dS_t}{S_t} = \left(r_{\text{for}} - q \right) dt + \sigma_S(t, S_t) dW_{\text{for}}(t).

修正前未包含相关性项 $\rho \sigma_S(t, S_t) \sigma_{\text{FX}}(t)$ ，即未考虑标的资产与支付货币之间的动态关系。

3.4 随机波动率模型中的Quanto修正

在随机波动率框架下（如 Heston 模型），标的资产漂移项的修正更为复杂，波动率本身为随机变量：

dv_t = \kappa (\theta - v_t) dt + \eta \sqrt{v_t} dZ_t,

其中 $v_t$ 为随机波动率。

💡 修正前的公式：

dv_t = \kappa (\theta - v_t) dt + \eta \sqrt{v_t} dZ_t,

随机波动率模型中，修正前后的波动率动态公式保持不变。Quanto 修正的影响体现在其他动态公式中，而非波动率本身的随机特性。

4. 综合Quanto修正的应用

4.1 Quanto修正的定义

在本币测度和外币测度下的远期价格之间的关系定义了 Quanto 修正，其表达式为：

\text{Quanto 修正因子} = \frac{\mathbb{E}^{Q_{\text{dom}}}[S_T]}{\mathbb{E}^{Q_{\text{for}}}[S_T]} = \exp(-\rho \sigma_S \sigma_{\text{FX}} T).

修正前的公式：

\text{修正因子} = 1.

无 Quanto 修正时，远期价格在本币和外币测度下的期望值一致，无需乘以修正因子。

4.2 间接Quanto修正

当直接的交叉汇率市场数据缺失时，可以通过间接方法推导 Quanto 修正。例如，如果资产的自然货币为 $X$ ，支付货币为 $Y$ ，但交叉汇率 $X/Y$ 缺失，可以通过以下关系推导：

\text{Cov}(\ln(X), \ln(X/Y)) = \sigma_X \sigma_{X/K} \rho(X, X/K) + \sigma_X \sigma_{K/Y} \rho(X, K/Y),

从而间接推导出 Quanto 修正。
修正前的公式：
无 Quanto 修正时，假设不存在间接相关性，公式简化为：

\text{Cov}(\ln(X), \ln(X/Y)) = \sigma_X^2.

即仅考虑资产自身的波动性，而忽略了与其他货币的交互影响。

5. Quanto修正的应用场景

Quanto修正广泛应用于金融市场中涉及跨货币定价的金融产品和衍生品场景。其核心作用是解决标的资产的自然货币与支付货币不一致的问题，确保无套利原则在不同货币框架下的定价一致性。以下是 Quanto 修正的典型应用场景：

5.1. 外汇相关的金融产品

5.1.1 外汇期权

场景描述：外汇期权的标的是一种货币对（如 EUR/USD），但期权费和期权收益以第三种货币（如 CNY 或 JPY）支付。
Quanto 修正的作用：
- 调整标的货币对的漂移项，反映标的汇率与支付货币汇率之间的相关性。
- 确保定价模型同时考虑标的汇率波动率和支付货币的波动率。

5.1.2 外汇挂钩存款

场景描述：存款产品的利率收益由外汇汇率（如 USD/JPY）表现决定，但存款本金和收益以本地货币（如 CNY）支付。
Quanto 修正的作用：
- 调整存款收益的计算，将外汇汇率的波动性和非本币支付货币的相关性纳入模型。

5.2. 结构化存款和票据

5.2.1 区间累计（Range Accrual）存款

场景描述：区间累计存款的收益与标的汇率（如 EUR/USD）在特定区间内的停留时间相关，但收益以本币（如 CNY）支付。
Quanto 修正的作用：
- 解决标的汇率的自然货币（EUR 和 USD）与支付货币之间的不一致。
- 调整区间累计的漂移项，使得定价结果符合本币框架下的无套利原则。

5.2.2 雪球型结构化产品

场景描述：雪球型产品的回报挂钩于外汇汇率（如 USD/JPY）的表现，但最终收益以另一种货币（如 CNY）支付。
Quanto 修正的作用：
- 调整标的汇率的动态，确保产品的回报在支付货币框架下的一致性。
- 考虑标的汇率与支付货币之间的波动率相关性对最终收益的影响。

5.3. 商品挂钩产品

5.3.1 商品期权或掉期

场景描述：商品期权（如原油期权）的标的为商品价格（如以 USD 为单位的原油价格），但期权费和收益以其他货币（如 EUR 或 CNY）支付。
Quanto 修正的作用：
- 调整商品价格的漂移项，反映商品价格与支付货币汇率之间的相关性。
- 确保商品价格波动率与支付货币波动率的综合影响纳入定价模型。

5.3.2 商品挂钩存款

场景描述：存款产品的收益受到商品价格（如黄金或原油）表现的影响，但本金和收益都以本币支付。
Quanto 修正的作用：
- 将商品价格的波动性和支付货币的相关性纳入定价框架。

5.4. 股权类产品

5.4.1 外国股票期权

场景描述：标的是外国股票（如以 USD 计价的美国股票）的期权，但期权费和期权收益以本地货币（如 CNY）支付。
Quanto 修正的作用：
- 调整股票价格的漂移项，反映股票价格与支付货币汇率之间的相关性。
- 考虑股票波动率和支付货币波动率的综合影响，确保无套利定价。

5.4.2 外国股票挂钩存款

场景描述：存款产品的收益与外国股票价格（如以 EUR 计价的欧洲股票）挂钩，但本金和收益均以本币（如 CNY）支付。
Quanto 修正的作用：
- 调整股票价格动态以纳入支付货币的汇率风险。
- 确保股票价格、汇率波动率和相关性的综合影响对产品定价的准确性。

5.5. 利率挂钩产品

5.5.1 外币利率挂钩产品

场景描述：产品的收益与某个外币利率（如 USD Libor 或 EUR Euribor）挂钩，但收益以本币支付。
Quanto 修正的作用：
- 将外币利率与支付货币汇率之间的相关性纳入定价。
- 调整漂移项，确保外币利率在支付货币框架下的一致性。

5.5. 多货币衍生品

5.5.1 外汇相关的交叉货币互换

场景描述：交叉货币互换涉及两种货币的现金流交换，Quanto 修正用于调整其中一方的现金流定价。
Quanto 修正的作用：
- 调整标的货币和支付货币之间的现金流价值，以反映相关性和波动率的影响。

5.5.2 外汇挂钩的篮子期权

场景描述：篮子期权的标的为多种货币的组合，但收益以某单一货币支付。
Quanto 修正的作用：
- 对每种货币的漂移项进行修正，确保篮子期权的定价符合支付货币的框架。

5.6. 间接汇率定价

5.6.1 缺失直接汇率的产品

场景描述：如果直接的交叉汇率（如 EUR/CNY）数据缺失，但间接汇率（如 EUR/USD 和 USD/CNY）可用。
Quanto 修正的作用：
- 通过间接汇率推导 Quanto 修正，确保定价中间接反映货币之间的波动率和相关性。

5.7. 其他场景

5.7.1 风险管理

场景描述：在风险管理中，Quanto 修正可用于对冲跨货币风险的衍生品。
Quanto 修正的作用：
- 确保标的资产的动态反映所有相关的货币风险因素。

5.7.2 投资组合中多货币资产的估值

场景描述：多货币资产的投资组合需要使用单一货币进行估值。
Quanto 修正的作用：
- 调整资产的动态，确保在估值货币框架下的一致性。

总结

Quanto 修正是一种关键的资产定价调整方法，广泛应用于跨货币的金融产品中。其核心在于调整标的资产的漂移项，以解决自然货币与支付货币不一致的问题。

常用的方法包括：

Black-Scholes 修正：适用于简单场景；
对数正态修正：快速计算简单产品；
本地波动率和随机波动率模型：适用于复杂场景；
隐含市场数据法：贴合市场实际。

实际应用中，应根据产品特性、市场数据可用性以及定价精度需求选择合适的 Quanto 修正方法，确保结果的准确性和一致性。

参考文献

Quanto 修正相关的文献和资料非常丰富，涵盖了理论、实践和数值方法等多个领域。以下建议根据需求选择参考：

理论基础：
- 推荐书籍：Hull 的 Options, Futures, and Other Derivatives 和 Shreve 的 Stochastic Calculus for Finance II。
- 推荐论文：Margrabe (1978)、Garman and Kohlhagen (1983)。
实际应用：
- 推荐书籍：Wilmott 的 Paul Wilmott Introduces Quantitative Finance 和 Joshi 的 The Concepts and Practice of Mathematical Finance。
- 工具与指南：QuantLib 和 Bloomberg。
高级研究：
- 推荐论文：Hagan (2002)、Boyle and Derman (1983)。
- 数值方法：Glasserman 的 Monte Carlo Methods in Financial Engineering。