局部波动率模型（Local Volatility Models）

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局部波动率模型简介

局部波动率模型是一类通过从市场隐含波动率曲面中反推资产价格波动率结构的定价方法，其目标是使模型生成的理论期权价格与市场观察到的期权价格完全一致。局部波动率模型的核心思想是，波动率不仅仅是时间的函数，还依赖于标的资产的价格水平，从而能够捕捉市场波动率微笑或偏斜的特性。

以下是主要的局部波动率模型及其特点简介：

Dupire 局部波动率模型
- 提出者：Bruno Dupire（1994）
- 核心特点：通过反推出一个双变量函数 $ \sigma(t, S) $（时间和资产价格的函数）来描述标的资产的局部波动率。该模型的核心公式基于偏微分方程，能精确拟合市场隐含波动率曲面，是局部波动率建模的基础。
- 应用场景：适用于捕捉市场整体波动率曲面，但在处理跳跃行为和短期波动率微笑时存在局限。
Andersen FX 局部波动率模型
- 提出者：Leif Andersen 和 Jorgen Andreasen（2000）
- 核心特点：在 Dupire 模型的基础上引入了泊松跳跃过程，用于更好地拟合外汇市场中短期波动率微笑。通过泊松跳跃项描述市场中可能的极端价格变化，同时保留局部波动率模型的灵活性。
- 应用场景：外汇市场定价，特别是对短期到期波动率微笑和价格跳跃行为的建模。

在 Dupire 模型中，局部波动率 $\sigma(K,T)$ 通常通过参数化方法拟合市场数据。一种常见的做法是使用二次多项式来描述隐含波动率曲面：

\sigma(K,T) = a \cdot K + b \cdot T + c \cdot K^2 + d \cdot T^2 + e \cdot K \cdot T + f

假设校准后的参数为 [0.1, -0.02, 0.001, 0.0, -0.001, 0.2]，则：

注：实际应用中可能需要更高阶项来拟合复杂曲面

在 Dupire 模型 中，标的资产价格（例如外汇汇率） $S(t)$ 的动态满足以下随机微分方程：

\frac{dS(t)}{S(t)} = \left( r^{d}(t) - r^{f}(t) \right) dt + \sigma(t, S(t)) dW(t)

变量解释：
- $S(t)$ ：标的资产价格（例如外汇汇率）。
- $r^{d}(t)$ ：本币（Domestic Currency）的无风险利率。
- $r^{f}(t)$ ：外币（Foreign Currency）的无风险利率。
- $\sigma(t, S(t))$ ：局部波动率（Local Volatility），是时间 $t$ 和标的价格 $S(t)$ 的函数。
- $W(t)$ ：标准布朗运动（Wiener Process），描述标的资产价格的随机波动。

局部波动率 $\sigma(K, T)$ 是市场期权价格 $C(K, T)$ 的函数，可以通过以下公式计算：

\sigma^{2}(K, T) = \frac{\frac{\partial C_{K, T}}{\partial T} + \left( r^{d}(T) - r^{f}(T) \right) \frac{\partial C_{K, T}}{\partial K} + r^{f}(T) \cdot C_{K, T}}{\frac{1}{2} \cdot K^{2} \cdot \frac{\partial^{2} C_{K, T}}{\partial K^{2}}}

在 Andersen FX Model 中，外汇汇率 $S(t)$ 的动态描述如下：

\frac{dS(t)}{S(t)} = \left( r^d(t) - r^f(t) - \lambda_t m(t) \right) dt + \sigma(t, S(t)) dW(t) + (J_t - 1) dN_t

新增项解释：
- $N_t$ ：泊松过程（Poisson Process），描述跳跃事件的发生
- $J_t$ ：跳跃幅度（通常假设为对数正态分布）
- $\lambda_t$ ：跳跃强度

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